Formule de Stirling

**Shadowlugia** · 21/11/2010, 16h07

Bonjour tout le monde, j'ai un DM sur la formule de Stirling à préparer, le problème, c'est que je bloque déjà à la première question...Voici l'énoncé :

On considère la suite $\text{[math]}$
On considère également la suite $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ et pour tout n>1 par $\text{[math]}$

La première question est :
Etudier la convergence de la série de terme général $\text{[math]}$ puis celle de la suite $\text{[math]}$ . D'après moi, au vu de l'énoncé, on aimerait bien qu'il y ait convergence, or je n'arrive pas à le prouver

Après avoir écrit $\text{[math]}$ , je rassemble tout sous le même ln et plusieurs simplifications peuvent s'opérer, je trouve au final
$\text{[math]}$

et $\text{[math]}$ admet un développement limité à l'ordre 1 :
$\text{[math]}$

et donc $\text{[math]}$ est équivalent après calculs à $\text{[math]}$
ce qui diverge vers $\text{[math]}$ , mais ce résultat peut-il être exploité ?

Par ailleurs, on peut aussi remarque que la somme partielle de la série de terme général $\text{[math]}$ n'est autre que $\text{[math]}$ , cependant je n'arrive pas à montrer que $\text{[math]}$ converge : le "meilleur" résultat auquel j'arrive est $\text{[math]}$

Pourriez vous m'indiquez un début de chemin à suivre ?

invitea07f6506 · 21/11/2010, 16h32

Il me semble que l'erreur est assez bête (une erreur d'inattention, je suppose) :

$\text{[math]}$

Maintenant, ceci permet de voir que la série de terme général $\text{[math]}$ ne diverge pas grossièrement, mais ce n'est pas suffisant pour savoir si elle converge ou non. Il va falloir un développement un peu plus précis du logarithme au voisinage de $\text{[math]}$ .

**Shadowlugia** · 21/11/2010, 19h52

ah...effectivement, j'ai fait une bête erreur..je vais tâcher de corriger ça !
merci !

Formule de Stirling