Topologie, métrique et convergence

[invite97a526b6]

Bonjour,
Voici des questions que je me pose; quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur ce sujet ? Je mexcuse d'avance si ces questions n'étaient pas pertinentes.

Pour définir une convergence sur une suite d'éléments d'un ensemble, il faut auparavant:
- Définir une topologie ?
- Ou définir une métrique (auquel cas on définit implicitement aussi une topologie) ?
- Ou rien définir du tout ?

Exemple où on n'a pas besion de définir ni topologie ni métrique:
- Soit E un ensemble et je considère P(E) les parties de E.
- Soit (A_n) une suite dans P(E).
- Définition:
(A_n) converge vers A € E <=>
Quelque soit x appartenant à A, il existe n₀, n>= n₀, x appartient à A_n
et quelque soit x n'appartenant pas à A, il existe n₀, n>= n₀, x n'appartient pas à A_n
Cette dernière définition de la convergence ne fait aucune référence à une topologie ou à une métrique.

Peut-on généraliser en affirmant que l'on peut toujours définir une convergence sur les éléments d'un ensemble en l'absence de topolologie ou métrique sur cet ensemble ?
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[invite332de63a]

Bonjour,

La convergence d'une suite dans un espace est très dépendante de sa topologie.

Par exemple une suite convergente avec la distance usuelle de qui est ne convergera pas en cas général pour la distance discrète sur qui est Pour cette distance peu de suite converge seulement les suites constantes à partir d'un certain rang à vrai dire.

Tu peux trouver pareil pour des topologies quelconques.

Maintenant toi tu n'étudies pas des élément de E mais des élément de P(E) donc je ne vois pas quoi te dire...

RoBeRTo

[invite97a526b6]

Bonjour,

Maintenant toi tu n'étudies pas des élément de E mais des élément de P(E) donc je ne vois pas quoi te dire...

RoBeRTo

Merci pour ta réponse.
P(E) est un esemble. Il y a donc des ensembles sur lesquels la convergence ne fait pas appel à une topologie ou à une métrique.
Cette propriété (de convergence sans référence à une toplogie ou à une métrique) est-elle propre aux ensembles de parties ou peut-elle se généraliser à d'autres ensemble ? C'est le fond de ma question.

[invite986312212]

bonjour,

ta question est mal formulée, puisque la notion de convergence définit la topologie. En d'autres termes, une fois que tu as défini quelles suites étaient convergentes et lesquelles ne l'étaient pas, ta topologie est fixée. Les ensembles fermés sont ceux qui contiennent les limites des suites de leurs éléments.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Malheuresement ce que dit Ambrosio est faux. sur les espaces topologiques non métrisable, il existe des partie qui sont "séquentiellement fermé" (fermé au sens des suites) mais qui ne sont pas fermé au sens de la topologie. ainsi il peut exister plusieurs topologie correspondant à une même notion de convergence.

pour revenir à la notion de convergence que tu définit sur P(E) elle est associé à une topologie, dont un base d'ouvert est donné par les ensemble U_{A,B} = { F inclu E telle que F inter A = B} où A est une partie fini de E et B une partie de A. (il s'agit de ce qu'on appelle la topologie de la convergence simple ou encore la topologie produit si on voit P(E) comme l'ensemble des fonctions de E dans {0,1} )

cette topologie est métrisable si et seulement si l'ensemble E est dénombrable.

[invite97a526b6]

bonjour,

ta question est mal formulée, puisque la notion de convergence définit la topologie. En d'autres termes, une fois que tu as défini quelles suites étaient convergentes et lesquelles ne l'étaient pas, ta topologie est fixée. Les ensembles fermés sont ceux qui contiennent les limites des suites de leurs éléments.

Alors peux-tu me dire quelle topologie est définie sur P(E) par la définition de convergente suivante ?:
La suite (A_n) dans P(E) converge vers A € P(E) <=> (définition)
quelque soit x appartenant à A, il existe n₀, n>= n₀, x appartient à A_n
et quelque soit x n'appartenant pas à A, il existe n₁, n>= n₁, x n'appartient pas à A_n.

[invite97a526b6]

Malheuresement ce que dit Ambrosio est faux. sur les espaces topologiques non métrisable, il existe des partie qui sont "séquentiellement fermé" (fermé au sens des suites) mais qui ne sont pas fermé au sens de la topologie. ainsi il peut exister plusieurs topologie correspondant à une même notion de convergence.

pour revenir à la notion de convergence que tu définit sur P(E) elle est associé à une topologie, dont un base d'ouvert est donné par les ensemble U_{A,B} = { F inclu E telle que F inter A = B} où A est une partie fini de E et B une partie de A. (il s'agit de ce qu'on appelle la topologie de la convergence simple ou encore la topologie produit si on voit P(E) comme l'ensemble des fonctions de E dans {0,1} )

cette topologie est métrisable si et seulement si l'ensemble E est dénombrable.

Je crois que tu as répondu à ma question. Je vais étudier ta réponse.
Merci beaucoup !

[invite4ef352d8]

la réponse est dans mon message !

note pour ambrosio, si on suppose que E est non dénombrable (P(E) est donc non métrisable), alors l'ensemble des partie dénombrable de E est séquentiellement fermé dans P(E) pour la notion de convergence dont parle Fan Fan. mais en revanche il n'est pas fermé pour la topologie dont je parle.

[invite986312212]

Malheuresement ce que dit Ambrosio est faux.

j'aurais mieux fait de m'abstenir. Je connaissais du reste le fait que la convergence presque sûre de variables aléatoires ne correspond à aucune topologie métrisable.

mais tout de même, on parle de la topologie de la convergence presque-sûre, ce qui laisse supposer qu'elle est unique.

j'aimerais bien creuser cette question, que je poserais comme ci:

supposons que sur un ensemble E on ait un moyen de décider si une suite quelconque est convergente ou pas, et de déterminer la limite d'une suite convergente.
1) Est-ce qu'il existe nécessairement une topologie sur E telle que les suites convergentes au sens de cette topologie, et les limites, coïncident avec celles données.
2) cette topologie est-elle unique?

je donne un exemple: E est l'ensemble des entiers auquel on a adjoint un élément "+infini", et les suites convergentes sont les suites strictement croissantes (à l'exclusion de toutes les autres donc), la limite étant +infini.

deuxième exemple (volontairement aberrant): E est N (sans point infini), les suites convergentes sont les suites strictement croissantes, mais leur limite est toujours 0.

[invite4ef352d8]

je connais pas bien l'exemple de la topologie de la convergence presque sûr, mais l'exemple de la topologie de la convergence simple est proablement très proche : Si E est un ensemble non dénombrable et F un espace topologique ayant au moins deux element les fonction de E->F sont munie de ce qu'on appelle la "topologie de la convergence simple" pour laquel les suites convergentes sont bien les suite convergent simplement.

mais cette propriété ne caractérise pas à elle seul cette topologie, l'appelle "topologie de la convergence simple" est une convention.

cela dit, si on travail avec des suites généralisé (des nets) alors dans ce cas les suite généralisé caractérise bien la topologie et donc imposer qu'une suite généralisé converge si et seulement si elle converge simplement défini bien (au plus) une topologie : la topologie de la convergence simple.


1) Est-ce qu'il existe nécessairement une topologie sur E telle que les suites convergentes au sens de cette topologie, et les limites, coïncident avec celles données. >>> non, typiquement dans les exemple que tu donne si toute les suite strictement croissante converge, on s'attend aussi à ce que des suites comme 2,1,3,4,5,6,7 ... etc
ou une suite obtenue en alternant les terme de deux suites coirssantes (mais qui n'est elle pas strictement croissante) soit encore convergente...

2) non comme je l'ai dit plus haut mais je n'ai pas d'exemple.


note que le deuxième exemple que tu donne n'est pas "plus absurde" que le premier...

dans le premier tu t'attend a ce que les ensemble de la forme ]n, +infini] soit une base de voisinage de l'infini, dans le deuxième à ce que les ensemble de la forme {0} union ]N,+l'infini[ soit une base de voisinage de 0.


je pense que le bon cadre pour définir une topologie à partir d'une notion de convergence est la notion de filtre (mais même comme ce la le problème reste assez subtile... )

[invite8a80e525]

Bonsoir,

une petite remarque, "topologie de la convergence simple", n'est pas qu'une convention, c'est le nom de la topologie produit sur .

Par ailleurs, la notion utile ici est celle de base dénombrable d'ouverts.
Si un espace topologique est à base dénombrable d'ouverts, alors sa topologie est entièrement déterminée par les suites convergentes et leurs limites.
(mais ça ne signifie pas qu'en choisissant n'importe quelles suites et limites on va pouvoir définir une topologie)

Je vais voir si je trouve un contre-exemple où on a deux topologies distinctes qui définissent les mêmes suites convergentes.

[invite986312212]

mes exemples n'étaient pas bon.

est-ce qu'on peut trouver des conditions sur la donnée d'un ensemble des suites convergentes pour l'existence et l'unicité d'une topologie les ayant comme seules suites convergentes?

il faudrait déjà qu'il y ait les suites constantes (ce qui n'était pas le cas dans mes exemples). Il faudrait comme l'a remarqué Ksilver que la convergence ne dépende pas des premiers termes de la suite. Par contre pour la suite "mélangeant" deux suites convergentes, il faut qu'elle soit convergente seulement dans le cas où la limite des deux suites est la même. Et puis?

[invite4ef352d8]

Quand je dis que c'est une convention, c'est le fait d'appeler la topologie produit la "topologie de la convergence simple" alors que la notion de convergence simple ne suffit pas à définir la topologie (bon sauf si on fait intervenir des nets)



Ambrosio >>> c'est un problème très compliqué en réalité. en travaillant avec des filtres ou des ultrafiltre plutot qu'avec des suites (cf Wikipédia si tu ne sais pas ce que c'est, ou le bourbaki de topologie génèral si tu veux plus de détail, contrairement à d'autres bourbaki il est très bien ecrit et tout à fait lisible...) on élimine d'office tout ces problèmes de "d'indépendance au premier termes de la suite" mélange des suites convergente etc et toute les choses du même genre que tu peux imaginer... mais malgrès tout il reste une condition très delicate :

l'ensemble des ultrafiltre sur E est munie d'une topologie naturel (qui en fait un espace compact si mes souvenir sont bon) et bien il faut en plus que pour tous x de E, l'ensemble des ultrafiltre convergent vers x soit un fermé de l'espace des ultrafiltres.

en plus de ca il y aurait une dernière condition de "localité", mais il faudrait que je réfléchisse pas mal pour l'énoncer proprement, et je suis pas sûr que ca soit utile.

tous ca pour dire que cette condition de fermeture va être passablement délicate à énoncer sur l'ensemble des suites... et de toute facon même si on pouvait l'énoncer elle serait quasi impossible à utiliser en pratique...

[invite47bcc498]

voici un exercice que je sais pas comment le résoudre

[invite47bcc498]

qlq peux m'aider SVP

[Médiat]

Bonjour,

1) La courtoisie n'est pas optionnelle sur ce site (Bonjour, merci...).


2) FSG n'est pas un site pour résoudre vos exercices, vous pourriez au moins nous montrer ce que vous avez fait au lieu de nous enjoindre de vous répondre.

3) Vous êtes censé ne pas utiliser de "langage" SMS.

Je ne validerai pas votre PJ avant que vous ne répondiez à ces points.

Médiat, pour la modération

[invite47bcc498]

j'ai un probleme dans la 2 questions je sais pas ce qu'il me faut montrer
d'apres la question 1 les distance sont equivalent unif
mais je sais pas comment utiliser cette question

[invite47bcc498]

bjr
car j'ai montré que les deux metrique sont equivalentes
est-ce que je peux la utiliser pour montrer que la topologie produit egal a la topologie metrique de la distance dn??????
MERCI