Exercice projecteur sur le R-ev des applications dérivables de R dans R

[Faror]

Bonjour à tous!
Voila je suis vraiment bloqué dans un exercice sur les projecteur, je ne sais pas du tout comment faire, pouvez vous m'aider svp?

Voici l'énoncé:

"Soit E le R-ev des applications de R dans R, dérivables sur R.
Soit phi l'application de E dans E défini par
Pour tout f € E, phi(f) = g avec pour tout x € R, g(x) = f(0) + f'(0)x"

Je suis bloqué à cette question:

"Determiner Im(phi) et Ker(phi)."

Je suis complétement bloqué, pour Ker(phi) je suis juste arrivé à
f € E tq f(0) = -f'(0)x (car on cherche f € Ker(phi) ie f(0) + f'(0)x = 0)

Merci d'avance

Cordialement Faror
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[invite986312212]

salut,

f appartient à Ker phi si phi(f) est la fonction identiquement nulle (le 0 de ton espace vectoriel), c'est-à-dire qu'on doit avoir f(0)+xf'(0)=0 pour tout x.