intégrale impropre

[Anthony39]

Bonjour,

N'arrivant pas à résoudre mon exercice, je me demandais si l'un des nombreux lecteurs du forum pourrait m'aiguiller et confirmer mon raisonnement.

L'objectif de l'exercice est de montrer que l'intégrale impropre:

I= int(1/(x^(alpha)*ln(x)^béta)) intégrée entre 2 et +inifini avec alpha et béta appartenant à R.

Montrer que l'intégrale est convergente si et seulement si:

- alpha>1 et béta appartenant à R
- alpha=1 et béta>1

Indication : si alpha > 1 écrire alpha=1+2h ( h>0)
alpha <1 écrire alpha=1-2h (h>0)

indication 2: utiliser les croissances comparées entre puissance de x et de ln(x)

Mon idée pour résoudre l'énoncé serait d'utiliser la règle d'Abel.

dans ce cas je poserais: f(x)=1/x qui sur [2;+infini[ est continue et décroissante et dont la limite en +inifini est 0.

et g(x)=1/(x^2k * ln(x)^béta)

Pour satisfaire à la règle d'Abel il ne me reste plus qu'à montrer l'intégrale sur 2, lambda de g(x) existe et est bornée.

J'en suis à ce point, je pense que c'est à ce moment que je dois utiliser mon indication 2 concernant les croissances comparées entre puissance de x et ln(x).

Je pense que je dois trouver une fonction h(x) tel que h(x)>g(x) sur [2;lambda] et tel que je puisse intégrer h(x) sur 2;lambda. De cette manière je montre que l'intégrale de g(x) existe.

Néanmoins je n'arrive pas à trouver h(x).

Je sollicite donc mes aimables lecteurs pour avoir leur avis sur mon raisonnement.

Il est également possible que ce ne soit pas la règle d'Abel qu'il faille utiliser.
Merci d'avance,

Anthony
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[KerLannais]

Bonjour

En fait les indications ne suggèrent pas d'utiliser la règle d'Abel. En plus cette règle est surtout utile lorsque l'on a une intégrale d'un produit, l'une des fonction étant continue de signe constant décroissante et de limite nulle mais l'autre doit être plus ou moins oscillante. L'idée étant que la fonction décroissante ne converge pas suffisamment vers 0 mais que la fonction oscillante arrange les choses. Ce n'est pas le cas ici.

Pour le cas on peut faire un changement de variable puisque la dérivée du se trouve alors dans l'intégrale, on se ramène alors au cas connu des intégrales de Riemann. Pour l'autre cas, on a de la marge, c'est le comportement de la puissance qui domine, on peut prendre un peu de puissance pour tuer le log par croissances comparées et garder suffisamment de puissance pour faire converger l'intégrale selon le critère de Riemann. Dans l'indication il faut lire

à la place de
le c'est ce que tu utilise pour tuer le log, le c'est ce que tu garde pour faire converger l'intégrale.

[Anthony39]

Bonjour,

Effectivement après pas mal de recherche sur le net, j'ai constaté que mon problème n'était pas quelconque mais correspond aux intégrales de Bertrand.

J'ai pu trouver la démonstration de la convergence de ces intégrales et effectivement il s'agit d'utiliser les croissances comparées.

L'exercice était bien intéressant et permet d'envisager la méthodologie d'utilisation des croissances comparées.

Merci pour ton explication de l'utilisation de la règle d'Abel. N'hésite pas à me proposer un exemple d'utilisation si tu en as un en mémoire.

Merci,

Anthony