Intégrale complexe

[invitefed94d78]

Bonjour à tous,

Je suis étudiante à l'IUT d'Orsay en troisième année. Nous venons d'aborder en cours de mathématiques les intégrales complexes et terminé le chapitre sur le théorème des résidus.

En cours nous avons montré que (où est un chemin fermé qui enlace la singularité située sur l'axe réel) puisque le résidus de vaut 1 en .

Je souhaiterais maintenant calculer l'intégrale (où est un chemin fermé qui enlace le point , avec toujours réel) en utilisant le théorème des résidus ou pas...

Je ne sais pas comment m'y prendre pour calculer cette intégrale en utilisant le théorème des résidus (quel est le résidu de l'intégrant en ?

Comment la calculer par une autre méthode ? Il semblerait que cette intégrale soit nulle...mais la démonstration m'échappe un peu à cause de la norme qui apparaît au dénominateur de l'intégrant.

Je vous remercie pour votre aide.

Amandine
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[invitefed94d78]

...pour être plus précis...le chemin est un cercle centré en 0 et dont le rayon est plus grand que (de sorte que soit enlacé par ce chemin)...

Amandine

[invite57a1e779]

Bonjour,

Comme n'est pas holomorphe, il est difficile d'envisager le théorème des résidus.
On peut par contre revenir à l'intégrale curviligne, et envisager de comparer, par symétrie, cette intégrale à celle de .

[invitefed94d78]

Merci pour cette réponse...

Je comprends maintenant que le théorème des résidus ne soit pas applicable.

L'intégrale doit être calculée sur un cercle centré en 0, de rayon R qui entoure la singularité située sur l'axe réel (entre 0 et R pour simplifier). Voici donc comment je procède en passant à une intégrale curviligne comme tu le suggères :

,

où j'ai posé . La dernière intégrale sur est difficilement calculable ! Est-ce-que quelqu'un a une idée pour la résoudre ? N'y a t-il pas un théorème (qui m'aurait échappée) pour prouver dès le départ que la première intégrale (complexe) est nulle ?

Merci à tous pour votre participation.

Amandine

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Il faut aller plus loin :

,

et on pose :



où le nouveau contour d'intégration est le cercle de centre 0 et de rayon .

[invitefed94d78]

...ok et ensuite en peut appliquer le théorème des résidus (l'intégrant est maintenant une fonction holomorphe puisque sa dérivée par rapport à est nulle)...dans la dernière intégrale, R est une singularité de l'intégrant mais comme , R n'est pas à l'intérieur du lacet et donc cette intégrale est nulle d'après le théorème des résidus. Es-tu d'accord avec ce raisonnement ?

Dans ce cas, l'intégrale de départ est nulle et je te remercie pour cette étape de la démonstration !!

Merci encore !

Amandine

[invite57a1e779]

C'est ça, et peut même obtenir la valeur de l'intégrale pour .