QCM sur les suites réelles

invite5b455336 · 26/11/2010, 22h36

Bonjour mes amis,
c'est ma premiére intervention dans le Forum, j'espere être collaboratif avec tous.
J'ai un QCM sur les suites réelles et j'ai pas pu savoir les bonnes réponses:

) La suite (U_n) définie par U_n=2-((n-1)/10) est :
*Bornée
*Croissante
*Décroissante
*Convergente

2) La suite(U_n) définie par Un=(-1)^n-1/(n+1) est
*Borné
*Croissante,
*Décroissante
*Convergente

3) La suite (U_n) définie par U_n= $\text{[math]}$ avec f=1+U_n et U₀=1 est :
*Divergente
*Croissante
*Majoré par 2
*Convergente vers (1+ $\text{[math]}$ )/2

4) La suite (U_n) définie par U_n=cos(π/2²)cos(π /2³)…cos(π/2ⁿ) est
*Bornée
*Croissante
*Décroissante
*Convergente

5) Soit les suites (U_n) et (V_n) définies par U_n= $\text{[math]}$ et V_n= $\text{[math]}$ .Alors
*(U_n) est décroissante
*(V_n) est croissante
*Lim(U_n-V_n)=0 lorsque n tend vers + $\text{[math]}$
*Les suites (U_n) et (V_n) sont adjacentes

6) La suite (Un) définie par U_n=1/(n+1) +1/(n+2)+...+1/(2*n) converge vers :
* 1/e
* 1/Ln(2)
* Ln 2
* 1
7) Soit la suite(U_n) définie par U_n=Ln(n!)/n ,n>=1.Alors :
* Lim U_n=0 lorsque n->+ $\text{[math]}$
*Lim U_n= + $\text{[math]}$ lorsque n->+ $\text{[math]}$
* U_2n equivalent à U_2n+1
* U_{2n}>=Ln (n)/2
Merci de me proposer les bonnes réponses

**Seirios** · 26/11/2010, 23h04

Bonjour,

Peut-être peux-tu nous proposer tes réponses, cela sera plus enrichissant pour toi si l'on répond à tes propositions plutôt que de te donner les bonnes réponses directement.

invite5b455336 · 27/11/2010, 01h59

Salut phys,
Pour moi je propose les solutions suivantes:
1) décroissante (U_n+1-U_n=-1/10<0)

2)U_n+1-U_n=(-1)^n-1(-2n-3)/(n+1)(n+2) il dépend de la parité de (n-1)
lim U_n=0 ----> convergente

3)quand googling, j'ai trouver dans un forum que cette suite converge vers 1+ $\text{[math]}$ /2
mais j'ai pas de proposition personnel sur cette question

4)décroissante(U_n+1-U_n=cos(π/2²)cos(π /2³)…cos(π/2ⁿ(cos(n/2ⁿ⁺¹)-1)<0 car -1<cos<1)

5)suites adjacentes et lim =0 car:
U_n décroissate
V_n croissante
lim(U-V)=lim(1/n - Ln n)=0

6)aucune proposition pour moi

7)aucune réponse pour moi aussi

Merci pour votre aide en tout cas

**Seirios** · 27/11/2010, 09h49

Envoyé par Pierre86

1) décroissante (U_n+1-U_n=-1/10<0)

Je suis d'accord.

2)U_n+1-U_n=(-1)^n-1(-2n-3)/(n+1)(n+2) il dépend de la parité de (n-1)
lim U_n=0 ----> convergente

Oui, mais pas seulement. Tu vois bien que la suite est décroissante en valeur absolue, donc elle est également bornée.

3)quand googling, j'ai trouver dans un forum que cette suite converge vers 1+ $\text{[math]}$ /2
mais j'ai pas de proposition personnel sur cette question

Pour étudier la suite définie par $\text{[math]}$ , la première chose à faire est d'étudier les variations de $\text{[math]}$ ; elle est évidemment croissante, donc $\text{[math]}$ doit être croissante. De plus, tu vérifies par un petit raisonnement par récurrence, qu'elle est majorée par 2. Tu en déduis donc qu'elle est convergente. Elle doit donc converger vers un point fixe de f, c'est-à-dire que tu dois résoudre l'équation $\text{[math]}$ , qui a deux solutions : $\text{[math]}$ ; mais comme $\text{[math]}$ est positive, la valeur de convergence ne peut être que $\text{[math]}$ .

4)décroissante(U_n+1-U_n=cos(π/2²)cos(π /2³)…cos(π/2ⁿ(cos(n/2ⁿ⁺¹)-1)<0 car -1<cos<1)

Elle est également bornée, puisque $\text{[math]}$ ; tu en déduis donc qu'elle doit également être convergente.

5)suites adjacentes et lim =0 car:
U_n décroissate
V_n croissante
lim(U-V)=lim(1/n - Ln n)=0

Je suis d'accord.

6)aucune proposition pour moi

Tu peux faire une comparaison série-intégrale : $\text{[math]}$ . Comme tu peux calculer les deux intégrales, tu trouves par comparaison des limites : $\text{[math]}$ .

7)aucune réponse pour moi aussi

Un équivalent assez utile à connaître est $\text{[math]}$ ; à partir de là, tu montres assez facilement que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Ensuite, l'inégalité équivaut à $\text{[math]}$ ; or $\text{[math]}$ est un produit de n termes plus grand que n, donc $\text{[math]}$ , d'où l'inégalité.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitea4b4dcde · 27/11/2010, 10h23

Bonjour!
Pour
1) je suis d'accord
2) bornée et convergente
3) je pense qu'il y a qq chose qui va pas dans l'énoncé, pour n=0 on a U0= 1 et f=1+U0 ==> f=2 et U0=sqrt(f) ==> U0=sqrt(2) !!?
je pense que tu veux dire U(n+1)= sqrt(f)

4) bornée et décroissante , et je pense convergente je reviens aprés pour montrer qu'elle converge!
5) rien à dire
6) Ln(2) je reviens après pour donner toute la démo
7) dans le produit n! il y a au moins n/2 termes qui sont >=n/2 donc
n!>=(n/2)^(n/2) ==> (n!)^(1/n)>=sqrt(n/2)
comme Un= Ln(n!)/n = Ln(racine n-ième de (n!)) ==> Un>=Ln(sqrt(n/2)) et donc lim n-->+00 Un =+00

invite5b455336 · 27/11/2010, 12h59

Bonjour physc,
Merci bcp j'ai vérifié et je suis bien d'accord avec vous.
j'ai des autres suites qui m'ennuient aussi, priére de m'aider les bonnes réponses:

1) Soit la série S de terme général U_n=(-1)ⁿ /(n^1/2+ cos n).Alors :
*S converge
*S diverge
*S converge absolument
*S ne converge pas absolument
Pour moi,je choisi S converge car LimU_n=0 lorsque n-->+ $\text{[math]}$
2) Soit la série S de terme général U_n=(-1)ⁿ /(n².Ln n).Alors : :
*S converge
*S diverge
*S converge absolument
*S ne converge pas absolument
Pour moi, S verifie le critére spétial des séries alternées donc elle converge |U_n|<1/n² et \[\sum\frac{1}{n²}\] converge(série de Riemann) -->converge absolument-->converge

3) Soit la série S de terme général U_n=(-1)ⁿ /(n².(Ln n)²)
*S converge
*S diverge
*S converge absolument
*S ne converge pas absolument
Pour moi, S verifie le critére spétial des séries alternées donc elle converge |U_n|<1/n² et \[\sum\frac{1}{n²}\] converge(série de Riemann) -->converge absolument-->converge

Merci bcp pour votre intervention

invitea4b4dcde · 27/11/2010, 13h10

Est ce que tu n'a pas vu mon poste?

**Seirios** · 27/11/2010, 14h27

Envoyé par Pierre86

1) Soit la série S de terme général U_n=(-1)ⁿ /(n^1/2+ cos n).Alors :
*S converge
*S diverge
*S converge absolument
*S ne converge pas absolument
Pour moi,je choisi S converge car LimU_n=0 lorsque n-->+ $\text{[math]}$

Tu ne peux pas déduire de $\text{[math]}$ que la série de terme générale $\text{[math]}$ converge ; un contre-exemple : $\text{[math]}$ .

Cela dit, il est clair que ta série ne converge pas absolument puisque $\text{[math]}$ . Pour la converge, il faut faire un développement limité : $\text{[math]}$ ; or $\text{[math]}$ converge (théorème des séries alternées), de même pour $\text{[math]}$ (théorème d'Abel) et $\text{[math]}$ (série de Riemann). Donc ta série converge bien.

2) Soit la série S de terme général U_n=(-1)ⁿ /(n².Ln n).Alors : :
*S converge
*S diverge
*S converge absolument
*S ne converge pas absolument
Pour moi, S verifie le critére spétial des séries alternées donc elle converge |U_n|<1/n² et \[\sum\frac{1}{n²}\] converge(série de Riemann) -->converge absolument-->converge

Il te suffit de prouver la converge absolue, tu n'as pas besoin de préciser que le critère spécial des séries alternées implique la convergence, sinon je suis d'accord. Tu peux également reconnaître une série de Bertrand.

3) Soit la série S de terme général U_n=(-1)ⁿ /(n².(Ln n)²)
*S converge
*S diverge
*S converge absolument
*S ne converge pas absolument
Pour moi, S verifie le critére spétial des séries alternées donc elle converge |U_n|<1/n² et \[\sum\frac{1}{n²}\] converge(série de Riemann) -->converge absolument-->converge

C'est la même question que précédemment.

**Seirios** · 27/11/2010, 14h32

Envoyé par achraf_djy

4) bornée et décroissante , et je pense convergente je reviens aprés pour montrer qu'elle converge!

Une suite monotone et bornée est nécessairement convergente.

6) Ln(2) je reviens après pour donner toute la démo

Voir ma réponse.

7) dans le produit n! il y a au moins n/2 termes qui sont >=n/2 donc
n!>=(n/2)^(n/2) ==> (n!)^(1/n)>=sqrt(n/2)
comme Un= Ln(n!)/n = Ln(racine n-ième de (n!)) ==> Un>=Ln(sqrt(n/2)) et donc lim n-->+00 Un =+00

Ou alors on peut montrer l'inégaité de la dernière réponse, et en déduire par la limite par comparaison.

invite5b455336 · 27/11/2010, 15h26

bonjour,
Merci bcp Pysci et désolé achraf j'ai pas pu vu ton poste merci pour qui a intervenu a résoudre ces questions

invite5b455336 · 01/12/2010, 22h32

Bonsoir,
1)pourquoi U_n n'est pas bornée?est ce qu'il existe N tq N<U_n

2)Pourquoi U_n est borné j'ai pas compris votre proposition

3)comment montrer la monotonie de deux sommes???

4)pourquoi (2n)!>nⁿ et (2n)!/nⁿ>nⁿ

5)comment $\text{[math]}$ converge(regle d'Abell)???

Merci

**Seirios** · 02/12/2010, 19h54

Envoyé par Pierre86

1)pourquoi U_n n'est pas bornée?est ce qu'il existe N tq N<U_n

2)Pourquoi U_n est borné j'ai pas compris votre proposition

3)comment montrer la monotonie de deux sommes???

A quelles questions fais-tu référence exactement ?

4)pourquoi (2n)!>nⁿ et (2n)!/nⁿ>nⁿ

Tu as $\text{[math]}$ , donc tu vois immédiatement que $\text{[math]}$ ; ainsi, $\text{[math]}$ .

5)comment $\text{[math]}$ converge(regle d'Abell)???

$\text{[math]}$ est décroissante et tend vers 0 ; de plus, $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est bornée, puisque $\text{[math]}$ l'est également.

invite5b455336 · 02/12/2010, 21h41

Bonsoir,
1)pourquoi U_n n'est pas bornée?est ce qu'il existe N tq N>U_n
U_n=2-(n-1)/10

2)Pourquoi U_n est borné j'ai pas compris votre proposition

U_n=(-1)^n-1/(n+1)

3)comment montrer la monotonie de deux sommes???

$\text{[math]}$ est décroissante?
$\text{[math]}$ est croissante.

Merci bcp pour vos aides

**Seirios** · 02/12/2010, 22h00

Envoyé par Pierre86

1)pourquoi U_n n'est pas bornée?est ce qu'il existe N tq N>U_n
U_n=2-(n-1)/10

Tu as $\text{[math]}$ , donc ta suite ne peut pas être bornée.

2)Pourquoi U_n est borné j'ai pas compris votre proposition

U_n=(-1)^n-1/(n+1)

La suite $\text{[math]}$ est décroissante, donc majorée par son premier terme ; ainsi $\text{[math]}$ . Sinon tu peux simplement écrire $\text{[math]}$ .

3)comment montrer la monotonie de deux sommes???

$\text{[math]}$ est décroissante?
$\text{[math]}$ est croissante.

Tu peux te servir de l'inégalité $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ ; de même $\text{[math]}$ .

**Seirios** · 02/12/2010, 22h09

Envoyé par Phys2

Un équivalent assez utile à connaître est $\text{[math]}$

Je t'en fais tout de même la démonstration :

Tu as $\text{[math]}$ ; or $\text{[math]}$ est croissante, d'où par comparaison série-intégrale :

$\text{[math]}$ .

Or $\text{[math]}$ , et de même $\text{[math]}$ .

Donc $\text{[math]}$ .

Ainsi, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

invite5b455336 · 03/12/2010, 01h50

Bonsoir,
Merci bcpppppppppp Pysc sur votre aide.J'ai d'autres questions sur les suites et je souhaite que vous m'aider:

1)est ce que si $\text{[math]}$ ,U=U_n converge alors Lim nU_n=0 si n-->+infini??
Pour moi, si $\text{[math]}$ ,U=U_n converge -->Lim U_n=0 si n-->+infini-->mais je ne peux pas déduire que nU_n tend vers 0 quant n-->+infini

2)Si $\text{[math]}$ ,U=U_n converge alors la série $\text{[math]}$ ,n>=1 est convergente???
A mon avis, |U_n sin n|<|U_n| et $\text{[math]}$ converge donc $\text{[math]}$ converge

3) $\text{[math]}$ est elle convergente??

4)f_n(x)=xⁿ(1-x²) est elle:
*convergente uniformement?
*convergente simplement?

5) $\text{[math]}$ ,x>=0 est-elle:
*convergente uniformement?
*convergente simplement?

6)x de ]0, $\text{[math]}$ [,f_n(x)=sin(nx) est-elle PARTOUT convergente??

7) $\text{[math]}$ ,n>=1 est elle convergente??

Merci bcp une autre fois Physc pour votre aide
J'attend vos propositions

**Seirios** · 03/12/2010, 20h10

Envoyé par Pierre86

1)est ce que si $\text{[math]}$ ,U=U_n converge alors Lim nU_n=0 si n-->+infini??
Pour moi, si $\text{[math]}$ ,U=U_n converge -->Lim U_n=0 si n-->+infini-->mais je ne peux pas déduire que nU_n tend vers 0 quant n-->+infini

Non, ce n'est pas vrai de manière générale. Un contre-exemple immédiat est $\text{[math]}$ , puisque $\text{[math]}$ n'admet pas de limite en l'infini ; ce n'est d'ailleurs même pas vrai pour une suite à termes positifs. Par contre, c'est vrai si $\text{[math]}$ est décroissante.

2)Si $\text{[math]}$ ,U=U_n converge alors la série $\text{[math]}$ ,n>=1 est convergente???
A mon avis, |U_n sin n|<|U_n| et $\text{[math]}$ converge donc $\text{[math]}$ converge

Je suis d'accord.

3) $\text{[math]}$ est elle convergente??

Remarque que $\text{[math]}$ .

4)f_n(x)=xⁿ(1-x²) est elle:
*convergente uniformement?
*convergente simplement?

5) $\text{[math]}$ ,x>=0 est-elle:
*convergente uniformement?
*convergente simplement?

Tu peux déjà étudier la convergence simple, ce n'est pas difficile ; pour la convergence uniforme, calcule le maximum des fonctions sur l'intervalle de convergence simple.

6)x de ]0, $\text{[math]}$ [,f_n(x)=sin(nx) est-elle PARTOUT convergente??

Je ne comprends pas vraiment la question...Tu veux dire que $\text{[math]}$ existe pour tout $\text{[math]}$ ? Je suis étonné de la question parce que la limite n'existe pas sur cet intervalle...

7) $\text{[math]}$ ,n>=1 est elle convergente??

Calcul d'abord $\text{[math]}$ , puis utilise le résultat pour réécrire ta série.

invite5b455336 · 05/12/2010, 19h36

Bonsoir
phys2;merci trés bien,vous pouvez me donnez vos calculs pour les questions 4,5,6 et7; vraiment je n'ai pas pu les resoudre.....

**Seirios** · 07/12/2010, 19h32

Pour les convergences simples de 4) et 5), il suffit de remarquer que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Pour la 6), tu dois savoir que le sinus n'admet pas de limite en l'infini, donc par composition, tu en déduis que $\text{[math]}$ converge si, et seulement si, x est un multiple entier de $\text{[math]}$ .

Pour la 7), je te donne un indice : calcule de deux manières différentes $\text{[math]}$ .

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