Dénombrabilité de Q

[invite332de63a]

Bonsoir,

Cantor (si je ne me trompe pas) a montré une façon intuitive une dénombrabilité de (qui bien-sûr montre celle de facilement ) en classant les fractions dans un tableau du genre
(p,q) et en faisant un chemin qui les prend de telle manière que toutes les fractions de soient prisent mais j'ai un petit problème, on considère sur ce tableau l'application qui à une fraction donne son rang dans le classement mais on vérifie bien en général en définissant une application de dans un autre ensemble que toutes les représentations d'une même fraction ont une même image. Or ici 1/1 et 2/2 n'ont pas le même rang. Bien-sûr on pourrait dans cette organisation sauter les fractions déjà citée mais donc dans celle de Cantor j'y voit plutôt un dénombrabilité de mais me diras t'on que peut par une application injective f être un sous ensemble de (enfin ).
Donc a fortiori si est dénombrable on a qui doit l'être aussi. N'ayant jamais travaillé dans cette branche des cardinaux infinis j'essaye de voir çà de façon simple . Alors on peut donc faire un tableau basé sur celui de Cantor où l'on saute les fractions dont on déjà pris une représentation et là donc mettre en bijection et mais dans un cas général peut on dire que si (ce qui semblerai logique) Si et et à une bijection près, que le cardinal de B est aussi (ce qui veut bien dire que B est dénombrable si je ne me trompe pas) et enfin peut on dire que si est une famille d'ensemble dénombrables alors (leur produit cartésien ) l'est ? (sûrement en restreignant I à un ensemble fini ou au moins dénombrable aussi ? )
Qu'en est -il des irrationnels ?

Voilà et si vous avez deux trois trucs intéressants dessus n'hésitez pas.

RoBeRTo
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[invite1e1a1a86]

Je ne suis pas sur de tout comprendre au début mais je n'ai besoin de trouver "qu'une surjection" de N dans Q (ou Q*+), j'en ferais une bijection après en enlevant les éléments donnés plusieurs fois s'il le faut...

pour la fin, tout est vrai (en supposant I dénombrable), et les irrationnels sont indénombrables (R=rationnel+irrationnel l'est!)

[invite00970985]

Un produit dénombrable de dénombrables n'est pas forcément dénombrable ....

Si on prend : , autrement dit , les suites à valeur dans {0,1}, on obtient facilement une surjection sur IR en voyant une suites comme le développement binaire d'un nombre réel (il n'y a pas de bijection car 1=0,11... ... tout ça en base 2 bien sûr).

Et à ce que je sache, IN est dénombrable

EDIT : par contre une union dénombrable de dénombrables est dénombrables !

[Médiat]

Bonjour,

j'y voit plutôt un dénombrabilité de

Non, cette méthode consiste à compter les fractions p/q en comptant les blocs de fractions telles que p+q = constante,
C'est donc bien une application de

p + q = 1 : une seule fraction : 0/1
p + q = 2 : une seule fraction : 1/1
p + q = 3 : deux fractions : 1/2 et 2/1
p + q = 4 : deux fractions : 1/3 et 3/1 (on élimine la fraction 2/2 déjà trouvée)
etc.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite332de63a]

Merci on doit donc bien supprimer les fractions déjà trouvées car j'ai vu cela ici et çà ma paru bizarre

[invite1e1a1a86]

j'ai pensé directement union et pas produit cartésien.

Sebsheep à parfaitement raison. Désolé.

[invite332de63a]

Merci pour ce contre exemple Sebsheep et SchliesseB pas de problème