Dénombrabilité de l'ensemble des nombres algébriques

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je suis tombé sur un exercice qui demandait de montrer que l'ensemble des nombres algébriques (les racines des polynômes de ) était dénombrable ; j'ai pensé à cette solution :

On introduit l'application tel que soit le polynôme minimal unitaire de et tel que soit la -ème racine de en introduisant une relation d'ordre total sur (par exemple en comparant les modules, puis en comparant les arguments (pris dans ) si les modules sont égaux). L'application est bien définie parce que la relation d'ordre est totale et par unicité du polynôme minimal unitaire, ce qui se montre en introduisant le morphisme d'algèbres puis en montrant qu'il existe un unique polynôme unitaire tel que (ce qui ne prend que quelques lignes).

De plus, est injective, et donc ; or est équipotent à qui est dénombrable (on peut construire une bijection avec en considérant l'écriture en base décimale), donc est au plus dénombrable, et même dénombrable puisque .

Mais ma solution me paraît un peu longue, et une indication est donnée dans l'exercice, qui mène sans doute vers une résolution plus simple : montrer qu'il existe un nombre fini d'équations tel que , où n et N sont des entiers fixés et où les appartiennent à . Mais je ne vois pas très bien où mène cette considération (puisque le résultat par lui-même est presque évident)...

Quelqu'un saurait comment utiliser cette indication ou bien connaîtrait une autre démonstration plus élémentaire de la dénombrabilité de l'ensemble des nombres algébriques ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invitea0b22930]

Les rationnels sont dénombrables. Donc pour n fixé les polynômes de degré <= n à coefficients rationnels sont dénombrables en tant que produits finis d'ensembles dénombrables.
Donc la réunion pour tous les entiers n des polynômes de degré <=n à coefficients rationnels est dénombrable comme réunion dénombrable d'ensembles dénombrables.
Pour tout tel polynôme le nombre de ses racines est fini et de cardinal <= n.
Donc les algébriques sont dénombrables car on peut établir une application surjective de leur ensemble sur une réunion dénombrable d'ensembles finis.

[invité576543]

@Phys2

La solution que tu proposes est basée sur une injection (ce qui oblige à parler de polynôme minimal). L'autre approche est de considérer qu'il y a une surjection de l'ensemble des racines de polynômes Z[X] vers A. L'indice est lié au dénombrement de cet ensemble (comme union dénombrable d'ensembles finis).

Edit : Croisement qui fait doublon, même idée présentée différemment, je laisse quand même.

[Médiat]

une indication est donnée dans l'exercice, qui mène sans doute vers une résolution plus simple : montrer qu'il existe un nombre fini d'équations tel que , où n et N sont des entiers fixés et où les appartiennent à . Mais je ne vois pas très bien où mène cette considération (puisque le résultat par lui-même est presque évident)...

Cette équation permet de compter les polynomes de dégré n dont la somme des valeurs absolues des coefficients (dans et non dans ) est fixée (N-n). Tous les polynomes vérifient l'une de ces équations qui sont en nombre dénombrable (une somme dénombrable d'entiers est bien dénombrable), et comme chacune des équations associées à un nombre fini de solutions ...

Une autre solution est de dire qu'un polynome est décrit par la suite finie de ses coefficients, or il n'y a qu'un nombre dénombrable de suites finies d'entiers (évidemment sans connaître ce lemme, ce n'est pas simple), en général ce résultat est démontré lors de l'étude de l'exponentiation ordinale).

PS : pour ajouter à ce qu'écrit AbouAntoun

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Salut !

petit détail de notation : ce qu'on note c'est les suites à valeurs rationel, qui est un ensemble franchement non dénombrable. toi ce que tu considère, c'est les suite a à support fini, pour lequel il y a pas vraiment de notation standard (on peut eventuellement le noté mais c'est quand même un peu ambigu, il vaut mieux préciser)


Le principe de l'indication, c'est de dénombrer le nombre d'algébrique qui sont racines d'un polynome à coeficient entier de degrée <N : il y en a moins que le "nombre fini" de solution de ton equation. à partir de là on conclu que l'ensemble des nombres algébrique est une union dénombrable d'ensemble fini, il est donc dénombrable !

[Médiat]

il y a pas vraiment de notation standard (on peut eventuellement le noté mais c'est quand même un peu ambigu, il vaut mieux préciser)

Non, non c'est bien la notation standard (chez les ensemblistes), maintenant, préciser n'est jamais un défaut.

[Seirios]

Merci à vous

[invite4ef352d8]

Non, non c'est bien la notation standard >>> curieux. pour moi cette notation désigne le co-produit de N copie de Q... donc quand on parle de Module/espace vectoriel/groupe abélien (etc...) ca correspond bien aux suites finies, mais justement, quand on parle d'ensemble, c'est plutôt la réunion disjointe de N copie de Q.

[Médiat]

Non, non c'est bien la notation standard >>> curieux. pour moi cette notation désigne le co-produit de N copie de Q... donc quand on parle de Module/espace vectoriel/groupe abélien (etc...) ca correspond bien aux suites finies, mais justement, quand on parle d'ensemble, c'est plutôt la réunion disjointe de N copie de Q.

Vous pouvez regarder là : http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy...ornoyChap2.pdf en haut de la page 40.

Pour moi la réunion disjointe de copie de est le produit cartésien et se note plutôt .

Je ne sais pas ce qu'est le co-produit de N copie de Q

[invite986312212]

Pour moi la réunion disjointe de copie de est le produit cartésien et se note plutôt .

c'est vrai au niveau ensembliste.

[Médiat]

c'est vrai au niveau ensembliste.

Justement, c'est bien de cela dont nous parlons :

quand on parle d'ensemble, c'est plutôt la réunion disjointe de N copie de Q.

ou quelque chose m'échappe ?

[invite3240c37d]

Attention Phys2 , est loin d'être dénombrable , la notation ensembliste signifiant l'ensemble des fonctions telles que .
Dans ton cas c'est facile avec le théorème "l'union dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable"