matrice diagonalisation espace propre

[invitef58e0663]

Bonjour à tous, je cherche à résoudre le problème suivant (mes notions sur les matrices sont encore très limitées) :

A tout nombre complexe z=a+ib, on associe la matrice M(z)=(a -b
b a)
1) on me demande de calculer les valeurs propres complexes; ç'a je pense que c'est Ok, je trouve z1=a+ib et z2=a-ib

2) ensuite on me demande de dire si M(z) est diagonalisable; peut on y arriver sans calculer les espaces propres ? Pour ma part j'ai utilisé le corrolaire d'un théorème qui dit que "si une matrice de dimension "dxd" a "d" valeurs propres alors on peut dire qu'elle est diagonalisable". Est ce que cela est bon puisque la matrice concernée, de dimension 2x2, a 2 valeurs propres ?

3) Enfin, on me demande de déterminer une base (pour b différent de 0, indépendante de a et b, de chaque sous espace propre. Et là je bloque.
Merci d'avance si quelqu'un peut m'aider.
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[invite332de63a]

Bonjour,
tout d'abord comment as tu écris ta matrice ? en ligne ou en colonnes ?
même si cela ne changera pas les valeurs propres
Prenons

Alors les valeurs propres sont : et comme tu as trouvé. Par ailleurs tu as bien vu que il y a 2 valeurs en dimension 2 donc elle est diagonalisable.
En gros en dimension n si tu as n valeurs propres distinctes sachant que pour chaque alors comme tu as n espaces propres en somme directe et que la dimension de E est n alors (avec des + de somme directe ) avec pour tout est le seul cas possible.

Alors pour la base là le choix de la matrice devient (plus ou moins important ) ^^ si c'est l'autre forme la tienne alors tu prend -b à la place de b.

Alors soit x un vecteur de alors on a donc donc ce qui te donne


Voilà un système en les coordonnées de x à résoudre ce que tu devrais pouvoir faire Bonne chance

RoBeRTo

[invitef58e0663]

Bonjour,
tout d'abord comment as tu écris ta matrice ? en ligne ou en colonnes ?
même si cela ne changera pas les valeurs propres
Prenons

Alors les valeurs propres sont : et comme tu as trouvé. Par ailleurs tu as bien vu que il y a 2 valeurs en dimension 2 donc elle est diagonalisable.
En gros en dimension n si tu as n valeurs propres distinctes sachant que pour chaque alors comme tu as n espaces propres en somme directe et que la dimension de E est n alors (avec des + de somme directe ) avec pour tout est le seul cas possible.

Alors pour la base là le choix de la matrice devient (plus ou moins important ) ^^ si c'est l'autre forme la tienne alors tu prend -b à la place de b.

Alors soit x un vecteur de alors on a donc donc ce qui te donne


Voilà un système en les coordonnées de x à résoudre ce que tu devrais pouvoir faire Bonne chance

RoBeRTo

Merci beaucoup Roberto pour cette réponse. La matrice est comme celle que tu as écris en colonne. Concernant le système à résoudre, j'ai pu déterminer 2 vecteurs propres (1,-i) et (1,i) associés à mes valeurs propres. Seulement je ne sais pas si cela suffit et surtout comment formuler ma réponse à la question posée. Merci d'avance.

[invite332de63a]

Alors si tu trouve (1,-i) et (1,i) que je n'ai pas vérifié mais semble juste car ne dépendent pas de a et b et simple.

Alors tu as (si tu as noté dans l'ordre)
{(1,i)} base de que l'on note surtout
mais aussi :
(car il n'y a qu'un seul vecteur)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef58e0663]

Alors si tu trouve (1,-i) et (1,i) que je n'ai pas vérifié mais semble juste car ne dépendent pas de a et b et simple.

Alors tu as (si tu as noté dans l'ordre)
{(1,i)} base de que l'on note surtout
mais aussi :
(car il n'y a qu'un seul vecteur)

Merci Roberto donc si j'ai bien compris je peux formuler ma réponse comme cela : {(1,i)} et {(1,-i)} sont des bases respectivement des sous espaces propres E(a+ib)=vect(1 i) et E(a-ib)=vect(1 -i). Est ce bien comme cela ? Merci d'avance.

[invite332de63a]

Ben je pense que oui ^^ Une base est une famille de vecteur ici il n'y en a qu'un mais je pense qu'il faut plutôt mettre des ( que des { car le premier indique que c'est ordonnée et le second non alors qu'une base est bien ordonnée.

RoBeRTo