matrice, valeur propre, dimension du S.E.propre etc...

[invitef7cb9c5c]

bonsoir
j'ai essayer dans tous les sens mais je m'en sors pas
soit une matrice de M_n(C): C= (a_i/a_j)_i,j où les a_i sont non nuls
donc j'ai une matrice dont la diagonale est formée de 1 et le triangle sup par rapport à cette diagonale est l'inverse du triangle inf
1) je montre que 0 est une valeur propre de l'endomorphisme u de Cⁿ dont la matrice C par rapport à la base canonique B= (e_i) de Cⁿ en calculant le poly caracttéristique
p_u(0)=det (C-0 lambda)=0 ce que je vérifie et j'en conclue que 0 est une valeur propre
2) Ensuite il faut chercher la dim du S.E propre relatif à 0 (soit la dim de ker u): je calcul dim (ker (c-0 lambda))=dim( ker c)= n- rang c
je trouve que rang c= 1 donc dim (ker c) = n-1
je ne suis pas sur de ce n-1
si c'est juste il faut aussi que je trouve sa base de ker u???? là je suis perdue
enfin cela devrait me permettre de calculer le polynome caractéristique que je m'attends à trouver de la forme x^n-1(x- lambda) si mes résultats précèdents sont justes
mais tout cela ne me semble pas coller.....
qu'en pensez-vous?
fifrelette
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[inviteeef69825]

salut

quel est le but de l'exo ? diagonaliser la matrice ?

un vecteur du noyau est par exemple (1,-2,0,...,0)

[inviteeef69825]

on pourrait même en trouver une base (Vi) de n-1 vecteurs, en posant Vi=(1,0,...,-(i+1),...,0) où le (-i-1) se situe en i+1ème position.

tout ce que tu as fait ètait juste, en tout cas tu n'es pas loin de la fin.

[invitef7cb9c5c]

bonjour
merci pour ta réponse qui m'encourage
l'énoncé est
soit C= (a_i/a_j)_i,jla matrice de M_n(C) où tous les a_isont non nuls
A) montrer que 0 est valeur propre de l'endomorphisme u de Cⁿ dont la matrice est C par rapport à la base canonique B(e_i) de C_n
OK P(0)= 0
B) déterminer la dim du S.E propre relatif à 0 i.e la dim de ker u et en trouver une base
dim(ker u)=n-1 et si n=3 une base peut-être par exemple B= (u₁,u₂,u₃) avec
u₁={(-a₁(a₂+a₃)/(a₂a₃),1,1}
u₂= {-a₁/a₂, 1, 0}
u₃= {-a₁/a₃,0,1}
C quel est le poly caractéristique de u
P_u(x)= (-1)ⁿx^n-1(x-n)
d) montrer que u est diagonalisable et trouver une base b^' où la matrice de u est diagonale
comme l'espace vectoriel associé à la valeur propre 0 est de dimension égale à son ordre de multiplicité , u est diagonalisable
ensuite pour trouver la base il me manque le vecteur qui correspond à
u(v)=nv c'est à dire le vecteur qui forme la base associé à la valeur propre n, j'y arrive pas du tout, je ne comprends pas, j'arrive à des
x-x+by-by=0....????en faisant C-nId (x...x_n)=0

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeef69825]

Il y a plusieurs choses que je n'ai pas comprises :
tes vecteurs formant une base du noyau me semblent bizarres, es tu sur qu'ils fonctionnent ?
comment sais tu que n est racine du polynôme caractéristique ?
il ne suffit pas que la dimension du noyau de l'espace propre associé soit de dimension égale à sa multiplicité, il faut que cela soit vrai pour chacune des racines !

Enfin, pour trouver une matrice de passage, il te suffit de concaténer les vecteurs propres en une seule matrice.


sinon désolé, dans mes posts d'avant il faut mettre "ai" à chaque fois qu'il y a "i".

[invitef7cb9c5c]

je viens seulement de lire ta réponse
merci mais là je dois me coucher et demain je pars pour 10 jours,
j'espère qu'on pourra reprendre cet échange alors
bonne nuit
fifrelette

[invite8bec0b2b]

Bonsoir. Fifrelette et à toutes et à tous.
Comment fais-tu pour trouver ce polynome caracteristique de ton message du
21/2/10 sur p(x)=(-1)^n.x^(n-1).(x-n) ? c=(ai/aj) matrice de M(C)
Merci de ta réponse ou aux autres.

[invitef7cb9c5c]

bonsoir
en fait je ne suis pas sur du (-1) ⁿ
par contre comme l'espace propre associé à la valeur propre 0 est de dimension n-1
et d'autre part la somme des valeur propre est égale à n on sait que l'autre valeur propre est n
donc le polynôme est x^n-1(x-n)
voilà
fifrelette

[invite8bec0b2b]

Bonjour Fifrelette
Merci pour ta réponse. Moi aussi j' arrive à x^(n-1) (x-n).

[invite57a1e779]

Tout dépend de votre définition du polynôme caractéristique :
– avec det(A-xI), le coefficient dominant est (-1)^n ;
– avec det(xI-A), le polynôme est unitaire.