Matrice et valeur propre - urgent

[invite6985b48f]

Salut à tous les matheux !
Pouvez-vous m'aider sur la question suivante :
n>2
Matrice nxn : A = (aij) = max(i,j)

Question : montrer que toutes ses valeurs propres sont réelles. Je sèche...

Questions suivantes : trouver ses vecteurs propres (sans connaitre les valeur propres) : ok j'ai fait, je les trouve de dimension 1.

Ensuite, on demande de dire combien il y a de valeurs propres distinctes. Je sais que c'est n (je les ai trouvées dans la suite du problème), mais comment le montrer à ce stade ?

Merci !!!
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[inviteaf1870ed]

La matrice est symétrique, non ?

[invite6985b48f]

Euh oui c'est sûr
En fait j'ai fait maths spé il y a 20 ans, donc j'ai un peu oublié mon cours et je n'ai qu'un cours abrégé d'algèbre pour support
J'ai désespérément cherché dedans un théorème qui me donne la solution rapidement mais sans succès
Peux-tu me donner ce théorème ?

Par ailleurs sur l'autre question, on démontre facilement que les espaces propres sont de dim 1, ce qui veut dire que les valeurs propres sont distinctes. Mais comment en déduire le nombre de valeurs propres distinctes (je sais qu'il y en a au plus n). J'ai essayé de calculer le polynome caractéristique, mais trop lourd...

Merci !

Merci !

[inviteaf1870ed]

Le théorème porte le nom de "Théorème Spectral", regarde ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_sym%C3%A9trique

Pour les valeurs propres, tu sais que ta matrice est diagonalisable (elle est symétrique), tu as donc n valeurs propres.

De plus la trace est invariante, tu connais donc la somme des valeurs propres...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6985b48f]

Merci infiniment !!!