Optimisation sous contrainte d'inégalité

[invite41452bd7]

Bonjour,

J'ai l'ennoncé suivant:
min 1/2x₁²+1/2(x₂ + 1)²+1/2x₃² en fonction de x₁, x₂ et x₃

slc x₁²+x₂>=0 et x₃²-x₂>=0

Je dois montrer que le point (0,0,0) est un minimum.
Pouvez vous me dire quelles étapes je dois suivre pour faire ceci.

Merci d'avance!
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[Seirios]

Bonjour,

L'ensemble est un compact (fermé borné), donc déjà tu sais que ton minimum existe puisque la fonction est continue sur .

Si ton minimum est dans l'intérieur de D, nécessairement ce sera un point critique. Or f n'admet pas de point critique dans D, donc le minimum appartient nécessairement à la frontière de D, et là tu peux utiliser les multiplicateurs de Lagrange.

[invite41452bd7]

Le problème c'est que je ne peux pas utiliser la technique du Hessien bornée. Après avoir résolu écrit mon lagrangien, je trouve G₁=-1 et G₂=0 (mes multiplicateurs de lagrange), or mes deux contraintes sont saturées.

[Seirios]

Je ne vois pas où est le problème, tu cherches le minimum de sous les contraintes et . Donc cela revient à résoudre le système , en notant et ; or ce système admet une unique solution, (0,0,0).

[A voir en vidéo sur Futura]