Bonjour a tous, voila j'ai un exercice dont la correction est simple, mais moi je suis passé par une démonstration plus longue et j'aimerai quand même savoir si c'est bon, pour voir si j'ai bien compris ... merci beaucoup
voici l'énoncé :
soit E un R-ev et pE L(E) telle que PoP=P et ker(p) != {Oe}.
1) montrer que ker(p) (+) im(p) = E
(ca j'y arrive et j'utilise la meme methode que la prof donc pas de souci )
2 soit q = IDe - P
(a) montrer que q E L(E).
alors voila la correction de la prof assez évidente :
q = IDe - P or IDe E L(E) et pEL(E) donc q E L(E)
moi j'ai tenté de démontrer que q est une applicatione linéaire de E dans E ...
pour tt x q(x) = Ide(x) - p(x).
pour tt y q(y) = ide(y) - p(y).
q(x + y) = ide(x + y) - p(x + y).
=x + y - p(x + y) car ide(x) = x.
= x + y - p(x) -p(y) car p est une application linéaire.
= ide(x) + ide(y) - p(x) ^p(y)
= q(x) + q(y).
on procede de meme pour la multiplication avec un R,
q(kx) = Ide(kx) - p(kx).
= kx -kp(x)
=k(ide(x)) -kp(x)
=kq(x).
donc c'est une application linéaire.
mais comment voit t-on que c'est une app de E-> E ?
merci beaucoup
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