Associativité d'une loi

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

je voudrais savoir si cette loi est associative

La loi x définie par :


car je n'arrive pas à le montrer... en espérant bien sûr qu'elle l'est çà m'arrangerait.

Merci
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[Médiat]

Une idée (à formaliser correctement) :
Soit f_a une fonction réelle telle que
f⁽ⁿ⁾(0) = a_n
...
f'(0) = a₁
f(0) = a₀

C'est facile de démontrer qu'une telle fonction existe (il existe même un polynome unique de dégré n qui va bien).

Même chose pour f_b, alors une fonction associé à votre "produit" va être f_a.f_b (qui n'est plus un polynome de degré n).

La démonstration devrait être plus facile avec les dérivées successives des fonctions.

[RoBeRTo-BeNDeR]

C'est exactement le contexte chaque b_i est la valeur d'un polynômes dérivé i fois en un point alpha... il me reste juste a montrer qu'un certain ensemble de polynôme quotienté par une loi de comparaison est une algèbre commutative et ceci est le seul point que je n'arrive pas a montrer ...

[invite4ef352d8]

Salut !

et bien je n'ai aps vraiment réfléchie mais si on pose :

A=R[X]/x^(n+1)

[a_0,...a_n]= a_0+ a_1.X+ ... +a_n X^n/n!

on obtiens exactement la loi que tu désire... qui est donc bien associative puisque la multiplication de A l'est...

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci Je regarde une famille spéciale de polynômes d'après vous existe t'il des polynômes non nuls tel que en deux point a et b toutes les nombres dérivés de ces polynômes soient nuls jusqu'a un certain rang.

du genre P(a)=0=P(b) et pour tout i<n+1 on ait P^(i) (a)=0P^(i) (b) avec P non nul et de degré quelconque (necessairement supérieur à n+1 strictement çà je peux le montrer)

Si vous voulez je vous fait parvenir en pièce jointe ce sur quoi je travaille ? Pour que vous puissiez si vous avez quelques minutes a accorder vérifier que je ne fasse pas d'erreur toute bête?

RoBeRTo

[Médiat]

(X-a)ⁿ⁺¹(X-b)ⁿ⁺¹ ne va-t-il pas bien ?

[invite4ef352d8]

j'ai aps très bien compris ce que tu voulais mais le truc suivant devrait répondre à ta question :


si je me donne k nombres x_1...x_k

et un certain nombre (i1+i2...+ik ) de nombre : a_{0,1}...a_{i1-1,1},a_{0,2}...a{i2-1,2} etc...

alors il existe un polynome P de degrée <(i1+i2...+ik ) tel que

P^(i) (x_k) = a_{i,k} pour tout i,k tel que a_{i,k} soit défini et

tout polynome Q vérifiant les condition précedentes (sauf le degré) est de la forme Q=P+U. (X-x_1)^i1 .... (X-x_k)^ik avec U un polynome quelconque, en particulier le polynome P (de degrée <(i1+i2...+ik ) ) est unique.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci Médiat pour ta solution explicite je n'y avait même pas penser -_-'...

K silver je ne comprend pas trop ce que tu me dis :s pourrais tu mieux expliquer ?

RoBeRTo

[invite4ef352d8]

ba pour faire simple, je dis qu'on peut prescrire les valeur et n'importe qu'elle nombre de derivé d'un polynome en n'importe quel nombre de points, que pour des prescription donné il existe toujour un unique polynome de grée <n qui les satisfait (n étant le nombre de prescription, valeur et dérivé, faites) et que deux polynome vérifiant les même prescription diffèrent d'un polynôme multiple de (X-x_1)^i1 .... (X-x_k)^ik

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci je comprend mieux ^^

[RoBeRTo-BeNDeR]

Vous seriez pas tenté de me montrer comment on montre cette associativité car ca revient à montrer que :

est la même chose que :


J'imagine qu'une interversion des sommes doit faire l'affaire ainsi que celle des indices muets mais je ne vois pas du tout comment la justifier.

Je me voit mal utiliser comme argument que l'on sait qu'elle est associative...
RoBeRTo