Pgcd

[invite616a69c2]

Bonjour,

j'ai besoin d'une petite correction de raisonnement et d'une aide pour finir ce raisonnement sur les pgcd.
Je voudrais montrer la proposition suivante:
Soit et alors
.

Allons-y pour la démo:
soit d=pgcd(a,b) alors d est un diviseur commun à a et b,

(par unicité de la décomposition en facteurs premiers de a).
De même
(par unicité de la décomposition en facteurs premiers de b.

Maintenant puis je conclure directement que .

Merci de votre aide
Amanda
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[invite616a69c2]

S'il vous plait un petit coup de main.
Mon raisonnement est-il juste?

[invite616a69c2]

s'il vous plait un petit peu d'aide

[NicoEnac]

Bonjour,

Votre raisonnement est juste mais il ne permet pas de conclure.
OK d divise a donc il s'écrit comme produit des nombres p₁ à p_n élevés à une puissance inférieure à celle dans la décomposition de a.
Idem pou b.
Mais qu'est ce qui vous permet de conclure que ces puissances sont égales au min(alpha, beta) ? Le résultat est vrai mais je ne vois pas l'argument qui permet de conclure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Je suis peut-être un eu tatillon mais selon moi il manque comme bout de démo :
On peut donc écrire tout diviseur commun G à a et b sous la forme :
et
Donc pour tout diviseur commun de a et b.

Or d étant précisément le plus grand de ces diviseurs (G = max(d)) et le max étant atteint pour , on obtient le résultat voulu.

Voilà, je suis peut-être allé trop loin mais cette étape me semble nécessaire.

[invite616a69c2]

Merci beaucoup d'avoir été aussi précis, maintenant que je le lis, je vois bien que cet argument était indispensable.

Encore merci beaucoup et bonnes fêtes