Petite question exo matrices semblables

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il me donner des éléments de réponses sur un exercice de partiel:

J'ai deux endomorphismes f et g de E de dimension n. Et F une base de E.
Dans la suite on notera M(fog) la matrice de la composé de f et g dans la base F. De même pour M(gof).

On me demande de montrer que si f est inversible, il existe une matrice P telle que M(fog)=P*M(gof)*P^-1.

Autrement dit que si f est inversible, alors les matrices M(fog) et M(gof) sont semblables.

J'ai essayé d'exprimé quelques idées en posant,
M(f)=A et M(g)=B du coup M(fog)=BA et M(gof)=AB
D'autre part, par hypothese, f est inversible (ne serait ce pas un abus de langage?, il aurait fallu dire la matrice de f?) donc M(fog) aussi. mais je ne sais pas trop comment exploité cette hypothèse. quelqu'un peut 'il m'aider?

Merci de m'avoir accordé de votre temps.
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[invite9617f995]

Bonjour,

Attention A inversible n'implique pas AB inversible (en fait il faut aussi B inversible).

Par contre dans ton cas, c'est en fait beaucoup plus simple, tu disposes de M=BA, tu sais que A^-1 existe, et tu cherche AB comme P^-1MP ... donc ?

Vois-tu où je veux en venir ?
Silk

[invite5ffffaa4]

Attention A inversible n'implique pas AB inversible (en fait il faut aussi B inversible).

En faite pour dire ça je me basais sur le fait que comme f est inversible, fog l'est aussi car fog=f[g(x)], et comme la matrice de fog est BA,, BA est inversible,, c'est faux?

Sinon on trouve AB=AM(A)^-1 avc M=BA et donc l'unique matrice est la matrice A?

Comment sait on qu'elle est effectivement unique?

[invite3240c37d]

En faite pour dire ça je me basais sur le fait que comme f est inversible, fog l'est aussi car fog=f[g(x)], et comme la matrice de fog est BA,, BA est inversible,, c'est faux?

Sinon on trouve AB=AM(A)^-1 avc M=BA et donc l'unique matrice est la matrice A?

Comment sait on qu'elle est effectivement unique?

Attention , on t'as déjà dit que (ou ) est inversible si et seulement si et sont inversibles.

D'autre part la matrice telle que n'est pas unique . Par exemple fait l'affaire mais aussi avec un scalaire non-nul.

[A voir en vidéo sur Futura]