Equation différentielle

[inviteb8635fbd]

Bonsoir,

a) Linéariser f(x) = sin(x) cos^3(x)

b) Déterminer le domaine de définition de : g(x)=racine(ln(x))
calculer sa dérivée.

c) Déterminer une primitive U(x) de u(x)=sin(4x).

d) A l'aide des calculs précédents, et après avoir préciser l'intervalle de résolution, résoudre l'équation différentielle :

2.[racine(ln(x))].y'(x) + 1/x . y(x) = 16 . [racine(ln(x))] . sin(x) . cos^3(x) . exp-[racine(ln(x))]

============================== =====

Réponses :

a) f(x)=[(e^ix)-(e^-ix)/2i] . [1/4(cos(3x)+3cos(x)]

b) ln(x) est définie sur ]0,+INF[ & racine(x) est définie sur [0,+INF[, d'où le Df de g(x) est ]0,INF[

g'(x)=[(1/x)]/[2.racine(ln(x))]

c) et d) (je cherche activement mais je n'ai pas réussi.

Merci de me corriger les 2 premières questions et m'aider sur les 2 dernières.
-----

[invite2bc7eda7]

Bonjour,

Bonsoir,

a) Linéariser f(x) = sin(x) cos^3(x)


Réponses :

a) f(x)=[(e^ix)-(e^-ix)/2i] . [1/4(cos(3x)+3cos(x)]

Il ne sert a rien d'exprimer sin(x) sous forme exponentielle complexe. Et une expression du type sin(a)cos(b) peut se linéariser encore...

 Cliquez pour afficher

penser aux formules d'addition

b) Déterminer le domaine de définition de : g(x)=racine(ln(x))
calculer sa dérivée.

b) ln(x) est définie sur ]0,+INF[ & racine(x) est définie sur [0,+INF[, d'où le Df de g(x) est ]0,INF[

clairement FAUX. Avez-vous déjà vu la racine d'un nombre négatif?

 Cliquez pour afficher

Le ln est négatif sur ]0,1[ attention !

Pour la question c) (avec mon conseil vous comprendrez le lien avec les questions précédentes) c'est la primitive d'une composée. Bon c'est pas difficile, comment s’intègre sin ? donc que faut il "ajouter" pour avoir sin(4x) en dérivant la fonction précédente?

Pour la d), commencez par étudier le domaine de de définition de l'ensemble des solutions, puis divisez le tout (si c'est possible) par racine(ln(x)) puis résolution de l’équation homogène puis solution particulière...

Bonne journée,

Mystérieux1

[inviteb8635fbd]

1) (2 sin(2 x)+sin(4 x))/8

2) [1,+INF[

3) - cos (4x) / 4 est la primitive

Merci de me corriger ces 3 première questions, pour la d) je bloque complètement,

[invitebd9fa693]

bonsoir
a) (2 sin(2 x)+sin(4 x))/8
b) [1,+INF[
c) - cos (4x) / 4

en se qui concerne d) c est assez simple la solution est y=A+B
tel que :
A la solution de l' équation différentiel homogène
A=a*exp(-racine(ln(x))
et B la solution particulière de l'equadiff avec second membre
on procède par la méthode de variation de la constante B=a(x)*exp(-racine(ln(x)) et on obtient
a'(x)=8sinxcos3x en utilisant les questions précédente on trouve
a(x)=-cos2x -(cos4x)/4
d'où B= [-cos2x -(cos4x)/4]*exp(-racine(ln(x))
finalement on trouve
y=a*exp(-racine(ln(x)) =a(x)*exp(-racine(ln(x)) avec a une constante appartenant a R

il ne faut pas oublier l'étude du raccord en x=1

cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb8635fbd]

est ce que vous pouvez repondre au a) avec du euler detaillé svp ?