Série

[invitebe08d051]

Salut,

Je dois étudier la nature de la série de terme général:

On peut écrire vue que la fonction est prolongeable par continuité en .

J'ai une grosse envie de dire que et conclure que la série diverge grossièrement.

J'ai donc posé :



et



Mais je n'arrive pas à montrer que converge uniformément vers .

Je n'arrive pas à majorer indépendamment de .

J'ai aussi tenter la méthode directe en calculant mais en vain.

Si vous avez des propositions, je suis preneur.

Merci
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[invite3240c37d]

Je te laisse montrer la divergence (remember Riemann) ..

[invitec317278e]

Je n'arrive pas à majorer indépendamment de .

Essayons, pour voir...
pour x différent de 1 :
.

Bon, ya peut être un moyen simple de majorer, mais comme je n'ai pas envie de perdre du temps, on dérive !



le signe de la dérivée est le signe de :
évidemment, 0 est racine :

puis 1 est racine double :


Cette écriture montre que la dérivée est positive, donc ce qu'on étudie est croissant donc prend sa valeur maximale en 1.


Finalement, converge bien uniformément sur I vers

[invitebe08d051]

Salut,

Pourtant j'étais sur que la dérivée ne donnait rien...(c'était plutôt la flemme de dériver )

Je te laisse montrer la divergence (remember Riemann) ..

Joli. Mais vu que j'ai changé l'expression de au tout début...

Merci à vous.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Ceci dit, je précise quand même que tu verras un théorème qui te permettra presque immédiatement d'inverser intégrale et limite : le théorème de convergence dominée, et donc la convergence uniforme était complètement inutile, même pour trouver la limite

[invitebe08d051]

Salut,

Ceci dit, je précise quand même que tu verras un théorème qui te permettra presque immédiatement d'inverser intégrale et limite : le théorème de convergence dominée, et donc la convergence uniforme était complètement inutile, même pour trouver la limite

Donc plus besoin de convergence uniforme !!!

Plus sérieusement, je me documenterai sur le sujet.

Mici

[invite57a1e779]

Bonjour,

En fait, dans cette suite, tout est liée à la monotonie.

On écrit: , donc :



et l'encadrement :



qui permet de conclure quant à la limite de .

En ce qui concerne la suite de fonctions :
– les fonctions sont continues sur ;
– pour tout la suite de terme général est décroissante ;
– la suite converge simplement vers sur ;
– la fonction est continue sur ;
– l'intervalle est compact ;
et le premier théorème de Dini assure que la convergence est uniforme.

On peut utiliser la décroissance de la suite de terme général pour prouver la convergence des intégrales via le théorème de convergence monotone.

Le plus intéressant est d'étudier la série de terme général .