produit de convolution et exponentielle

[inviteab8a9fe8]

Bonjour,
je suis completement bloquée sur un exercice concernant l'exponentielle.
D'abord on a toute l'explication du produit de convolution, sans passage par les complexes,et ensuite voila l'exercice :

a) Montrer que quel que soient x,yR : (xⁿ/n!) * (yⁿ/n!) = ((x+y)ⁿ/n!)

J'ai essayé de faire une permutation de sigmas puisque la démonstration qui précède l'exercice fait comme cela mais je n'y arrive pas....

b)montrer que quel que soit h tel que 0<|h|<1, on a : | (exp(h)-1)/h -1|<=|h|(somme(n=0;inf) (1/(n+2!))
En déduire que limite | (exp(h)-1)/h|=1

c)Montrer alors que quel sue soit x exp est dérivable en x et que exp'(x)=exp(x)

Merci d'avance de votre aide !
-----

[invitea7fcfc37]

Salut,

Bonjour,
je suis completement bloquée sur un exercice concernant l'exponentielle.
D'abord on a toute l'explication du produit de convolution, sans passage par les complexes,et ensuite voila l'exercice :

a) Montrer que quel que soient x,yR : (xⁿ/n!) * (yⁿ/n!) = ((x+y)ⁿ/n!)

J'ai essayé de faire une permutation de sigmas puisque la démonstration qui précède l'exercice fait comme cela mais je n'y arrive pas....

Quelle définition du produit de convolution t'a-t-on donnée ?

b)montrer que quel que soit h tel que 0<|h|<1, on a : | (exp(h)-1)/h -1|<=|h|(somme(n=0;inf) (1/(n+2!))
En déduire que limite | (exp(h)-1)/h|=1

En écrivant l'exponentielle sous forme de série, en retranchant 1 et en divisant par h et en retranchant 1 encore (!), qu'obtiens-tu ?
Et en admettant ce résultat, arrives-tu à déduire la limite ?

c)Montrer alors que quel sue soit x exp est dérivable en x et que exp'(x)=exp(x)

Normalement, avec la question précédente, tu as dû voir qu'on avait montré que exp était dérivable en 0, et que exp'(0) valait 1 = exp(0).
Maintenant, il faut le faire pour tout x, as-tu une idée de ce qu'on pourrait faire ?

[inviteab8a9fe8]

merci de votre réponse,

Pour le produit de convolution c'est uniquement celui qui concerne les séries entières et la démonstration passe soit par les sommes partielles, soit par une permutation de sigmas.

pour le b)
lorque l'on retranche 1 cela donne la série exponentielle partant de n=1, puis lorque l'on divise par h, la série commencant à n=1 de h^n-1/n!
et apres lorque l'on retranche 1 je ne vois pas...

et oui je pense avoir compris pour la limite, avec le théorème d'encadrement on a limite=0 et donc en passant le 1 de l'autre coté on arrive au bon résultat, c'est ça ?

pour le c) oui j'avais vu pour le dérivable en zéro, je pense qu'il faut réutiliser la définition de la dérivation vu au dessus mais je ne vois pas du tout comment