Fonction non injective

[invite0fc76118]

Salut tout le monde!

J'ai du mal avec cet exercice:

On considère l'application f:R → R telle que pour tout x ∈ R, on a f(x)=x²+x-1

1) Montrer que f n'est pas injective
2) Montrer que f n'est pas surjective
3) Déterminer l'image f([-1,+1]) de l'intervalle [-1,+1]
3) Déterminer l'image réciproque f^-1(]+1,+infini[) de ]-1,+infini[

Alors déjà, pour le 1) je ne sais pas comment prouver que f n'est pas injective. Dois je prendre un contre exemple? du genre x=1?

Quelqu'un peut me donner un exemple svp? ça m'aiderais beaucoup. J'ai vraiment envie de comprendre.

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[invite029139fa]

Oui tu peux trouver un contre exemple, mais il serait plutôt de la forme f(x1)=f(x2) avec x1 différent de x2 pour la non injectivité.

[invite0fc76118]

Oui tu peux trouver un contre exemple, mais il serait plutôt de la forme f(x1)=f(x2) avec x1 différent de x2 pour la non injectivité.

Merci mais j'ai pas compris. C'est démontré la?
Puisque x1 est différent de x2 c'est dire que f(x1) est différent de f(x2).

Mais j'ai toujours pas compris... On en fait quoi du f(x)=x²+x-1 et il sort d'ou le f(x2)? Je dois prendre deux nombres réels quelconques alors?

Pouvez vous me donnez un exemple plus concret? Je ne sais pas par ou commencer pour rédiger cet exo. (Et j'suis vraiment pas douée en math comme vous pouvez le constater)

[invite029139fa]

Attention vous confondez un peu tout
Connaissez-vous la définition exacte de l'injectivité ?
Intuitivement, une fonction est injective si elle ne prend pas deux fois la même valeur.
Du coup, pour prouver qu'une fonction n'est pas injective, il suffit de trouver deux nombres (notons-les et , mais dans le cas particulier, il faut les déterminer) qui soient différents et qui ont la même image par cette fonction.

Par exemple, prenons la fonction
Imagine que tu aies alors . Donc si tu as deux réels différents, leur image ne peut jamais être la même. D'où cette fonction est injective.

Maintenant, prenons la fonction cosinus.
Posons et .
On a et
Donc .
Or , donc cette fonction n'est pas injective !

A toi maintenant de trouver et différents tels que , tu auras alors prouvé la non injectivité de ta fonction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57c166fd]

ah! merci beaucoup j'ai la même question et j'ai compris sans doute!

[invite0fc76118]

R vers R
f(x)=x²+x-1

Si je prends deux nombre réel quelconque a=-1 et b=1

J'obtiens f(1)=1²+1-1=1
et f(-1)=(-1)²+1-1=1

f(1) est différent de f(-1) donc f n'est pas injective.

C'est bon j'ai démontrer la? Dites moi si ce n'est pas ça!

[invitebe0cd90e]

J'obtiens f(1)=1²+1-1=1
et f(-1)=(-1)²+1-1=1

Ton calcul de f(-1) est faux, et 1 et -1 ne sont pas des bons exemples.

f(1) est différent de f(-1) donc f n'est pas injective.

Ce que tu cherches c'est au contraire des reels différents x,y tels que f(x) soit égal à f(y).

Tu pêux par exemple essayer de chercher les solutions de l'équation f(x)=0, si "par chance" il y en a 2 différentes c'est gagné.

[invitebe0cd90e]

Ou plus malin, tu peux chercher les solutions de f(x)=-1, le calcul est beaucoup plus simple.

[invite0fc76118]

Ah! Je pense avoir trouver et un peu compris...
Heu mais en fait tu m'a donné la réponse la...

Si je prends x=0 et y=-1 ça marche

f (0) = 0²+0-1= -1
f(-1) = (-1)² -1-1=-1

f(x) = f(y) ou x et y sont deux réels différents. Et la j'ai montrer que f n'est pas injective.

C'est juste?

Par contre je me demande si il n'y a pas une méthode plus simple et plus rapide de trouver le x et le y.
Je n'ai pas compris ta méthode avec f(x)=0 et f(x)=-1.. Tu as remplacer le f(x)=x²+x-1 c'est ça? Mais comment tu as eu l'idée de mettre 0 et -1?
J'suis un peu paumée...

[invite0fc76118]

S'il vous plait j'ai besoin d'aide pour comprendre!
Personne ne peut m'expliquer cet exercice?