Suites interdépendantes

[troisquatorze28]

Bonjour à tous !
Je tourne en rond sur un exercice.
On a x>1. U0=x V0=1
Un+1=(Un+Vn)/2 et Vn+1=(2*Un*Vn)/(Un+Vn)

Et il nous faut montrer que (Un) et (Vn) sont adjacentes. Et calculer leur limite commune.

Donc on va commencer par montrer qu'elles sont monotones et de sens contraires.
On va d'abord montrer qu'elles sont positives (utiles pour la suite, sans jeu de mots)
Un+1*Vn+1=Un*Vn
J'en est conclu que (Un*Vn) était constante et égale à V0*U0 soit à x.
x étant positif.
Pour tout n dans N Un et Vn de même signe.
Suffit-il de dire que U0 et V0 sont positif pour si que Vn et Un seront positifs ?

Bref après, j'ai trouvé
Vn+1-Vn=Vn(Un-Vn)/(Un+Vn)
avec Un-Vn=(Un-1-Vn-1)^2/(2*(Un+Vn))
C'est là où j'utilise pour hypothèse Un et Vn postifs donc Un+Vn positif et (Vn) est donc croissante.

Mais après pour (Un) ça devient plus dure.
Un+1-Un=(Vn-Un)/2=(Vn-x/Vn)/2
=(Vn^2-x)/2*Vn
Mais comment comparé Vn^2-x...

Il doit y avoir plus simple. Surtout je ne vois pas comment montrer que lim(Un-Vn)=0

Merci d'avance.
Mon niveau : MPSI
-----

[taladris]

Donc on va commencer par montrer qu'elles sont monotones et de sens contraires.
On va d'abord montrer qu'elles sont positives (utiles pour la suite, sans jeu de mots)
Un+1*Vn+1=Un*Vn
J'en est conclu que (Un*Vn) était constante et égale à V0*U0 soit à x.
x étant positif.
Pour tout n dans N Un et Vn de même signe.
Suffit-il de dire que U0 et V0 sont positif pour si que Vn et Un seront positifs ?

Non, ce que tu as démontré, c'est que si U_n change de signe, alors V_n aussi. Et inversement.

Pour montrer que les suites sont positives, tu peux faire une récurrence.

Cordialement

[MMu]

.....
Mais après pour (Un) ça devient plus dure.
Un+1-Un=(Vn-Un)/2=(Vn-x/Vn)/2
=(Vn^2-x)/2*Vn
Mais comment comparé Vn^2-x...

Il doit y avoir plus simple. Surtout je ne vois pas comment montrer que lim(Un-Vn)=0

Merci d'avance.
Mon niveau : MPSI

Tu as montré que pour tout on a


Il résulte donc et finalement
Tu as donc deux suites monotones et bornées, donc convergentes .
Déduis de la définition de que leurs limites sont égales et calcule les en utilisant .

[troisquatorze28]

Très bien merci beaucoup.
On a (Vn) et (Un) convergent vers l et l' respectives.
Or

D'où par passage à la limite :
l=(l+l')/2
D'ou l'=l

Par Un*Vn=x donc obtient (par passage à la limite) l^2=x
Conclusion l=sqrt(x).

[A voir en vidéo sur Futura]