Ensembles de "Nombres"

[Seirios]

Je viens de lire le chapitre sur les quaternions, et j'aime assez l'idée d'être assez concis, poussant le lecteur à réfléchir par lui-même.

(Juste deux petites erreurs de frappe : en 1.1.6, il manque une parenthèse à la fin de la première ligne, et en 1.1.4, une inversion de lettre dans traditionnellement.)

Par contre, je trouve qu'il serait bien qu'il y ait plus de résultats "théoriques" (un peu dans le même genre que ce qui est mentionné dans l'introduction), même s'ils ne sont que mentionnés.
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[Médiat]

(Juste deux petites erreurs de frappe : en 1.1.6, il manque une parenthèse à la fin de la première ligne, et en 1.1.4, une inversion de lettre dans traditionnellement.)

Merci, ce sera rectifié.

Par contre, je trouve qu'il serait bien qu'il y ait plus de résultats "théoriques" (un peu dans le même genre que ce qui est mentionné dans l'introduction), même s'ils ne sont que mentionnés.

A quels résultats pensez-vous ? Le risque serait d'aller trop loin ... Je reste ouvert à toutes propositions (surtout concernant les quaternions, car c'est un domaine où l'on trouve beaucoup de littérature)

Pour information, c'est telchar qui va finaliser le chapitre sur les quaternions.

[Seirios]

A quels résultats pensez-vous ? Le risque serait d'aller trop loin ...

A aucun en particulier...(je n'ai pas vraiment de connaissances sur le sujet) Je pense qu'il ne faut pas avoir peur de dire trop de choses (avec certaines restrictions, bien sûr) ; après, tout dépend du but du document. Personnellement, je le verrais plutôt comme un document assez peu détaillé mais avec beaucoup de petites remarques intéressantes.

Sinon, pour la partie physique du document des quaternions, il faudrait demander à un physicien s'il pouvait écrire quelques lignes sur les matrices de Pauli.

[invite029139fa]

Oui, c'est exact. J'aurais sans doute dû expliquer que, partant de C (donc avec 1 et le i de C), en ajoutant un élément j tel que j² = -1, pour avoir un corps, il faut aussi ajouter ij (noté k) et la table de multiplication qui va bien : celle des quaternions.

Bonjour,
Felicitation pour votre initiative !
Je suis assez novice en la matière et je trouve qu'il serait intéressant d'expliquer comment on obtient la table de multiplication de ce corps. Je trouve qu'en plus c'est une bonne occasion de le faire -si ce n'est pas long- car comme ca le lecteur attentionné qui en aura envie pourra tenter de vérifier celle des octonions, sédénions etc... par lui-même, là ou ce sera surement plus long

Sinon on pourrait peut-être juste mentionner que c'est le premier exemple de corps non commutatif découvert ?

Cordialement.

[invite6754323456711]

Sinon, pour la partie physique du document des quaternions, il faudrait demander à un physicien s'il pouvait écrire quelques lignes sur les matrices de Pauli.

Cela peut conduire loin l'algèbre de Pauli P (matrices d’ordre deux sur C) et donc vers les notions de représentation de groupe ...





Je peux chercher des références m'intéressant actuellement aux actions/ représentations de groupe. Je ne serais faire mieux

http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_...9cial_unitaire

Patrick

[invite986312212]

en voyant ce dernier post, je me demande si ces ensembles (quaternions, octonions, etc.) méritent vraiment d'être appelés ensembles de nombres. On pourrait aussi appeler "nombres" les éléments de n'importe quel anneau de matrices, ou de n'importe quelle algèbre réelle en fait.

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Des éléments d'informations historiques relatif aux nombres dans cet article Histoire des mathématiques du site http://www-irma.u-strasbg.fr/~baumann/

Patrick

[Médiat]

en voyant ce dernier post, je me demande si ces ensembles (quaternions, octonions, etc.) méritent vraiment d'être appelés ensembles de nombres. On pourrait aussi appeler "nombres" les éléments de n'importe quel anneau de matrices, ou de n'importe quelle algèbre réelle en fait.

Dans tous choix de ce type, il y a une dose d'arbitraire et d'erreur, ma démarche a été :

Chapitre 1) Ce que tout le monde appelle "nombres" au lycée
Chapitre 2) Les variations sur les ensembles précédents
Chapitre 4) Les nombres "non-standard"
Chapitre 5) Les extensions de la notion de "nombre" dans une théorie des ensembles
Chapitre 3) Comment construire des nombres à partir d'autres (j'avais bien dit que l'ordre des chapitres n'était pas définitif )
Chapitre 6) Une tentative de définition générale de "nombre"
Chapitre 7) Peut-on généraliser les généralisations du chapitre 3 ?
Chapitre 8 et sq.) Que donnent les méthodes précédentes (chapitre 3 et 7) ?

Une façon de mettre moins d'arbitraire la-dedans serait de se demander s'il existe des appareil de mesure donnant, sous une forme ou une autre, des éléments que le physicien va interpréter comme un nombre de tel ensemble, mais cela excluerait des choses qu'en tant que logicien, je me sens obligé de mettre (Non standard, ZF).

Pour illustrer le paragraphe précédent : je me suis arrêté aux sexagintaquatronions (algèbre de dimension 64 sur IR), pourquoi ne me suis-je pas arrête à 32, voire avant ou à 128 ?
Les trigintaduonions sont utilisables en physique (il y a des liens sur le net), ils sont donc "obligatoires".
Les sexagintaquatronions ne sont pas (encore ?) utilisés en physique, d'ailleurs j'ai "créé" le nom à partir du latin, sur le même modèle que trigintaduonions. Je ne pense pas que ce chapitre sera bien long à part pour expliquer comment ils sont construits et laisser la porte ouverte aux constructions suivantes ; il m'est apparu naturel de donner le "prochain" (dans un certain sens, après la dimension 32) ensemble de nombres, mais qu'il était inutile d'aller plus loin (un seul ensemble ne servant à rien devrait être suffisant ).

[Médiat]

Bonjour

je trouve qu'il serait intéressant d'expliquer comment on obtient la table de multiplication de ce corps.

La question est intéressante, donc je réponds (partiellement) ici : L'associativité et la commutativité (ij = ji) entraînerait que (ij)² = 1, et donc que (1 - ij).(1 + ij) = 0, donc on n'aurait pas un nouveau corps (si ij = 1 ou -1, c'est que j = -i ou i, et sinon il y a un diviseur de 0).

Sinon on pourrait peut-être juste mentionner que c'est le premier exemple de corps non commutatif découvert ?

Mentionner que c'est le premier exemple de corps non commutatif étudié, c'est effectivement intéressant, mais je vais éviter le vocabulaire trop spécifique d'une philosophie (ou d'une autre) des mathématiques (comme le mot "découvert" ).

[Seirios]

Pour ceux qui souhaiteraient en savoir un peu plus sur la construction de Cayley-Dickson, j'ai trouvé ce lien, qui est plutôt bien expliqué : http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node5.html.

[Médiat]

Bonjour,

Pour information, les ensembles suivants sont pris en charge :

Extensions algébriques
Extensions transcendantes
Clôture algébrique de Q
Nombres réels
Nombres complexes
Nombres dyadiques
Nombres p-adiques
Entiers d'Eisenstein
Entiers de Gauss
Quaternions
Octonions

Toutes les bonnes volontés sont bienvenues ...

[stefjm]

en voyant ce dernier post, je me demande si ces ensembles (quaternions, octonions, etc.) méritent vraiment d'être appelés ensembles de nombres. On pourrait aussi appeler "nombres" les éléments de n'importe quel anneau de matrices, ou de n'importe quelle algèbre réelle en fait.

Bonjour,
Cette remarque m'en rappelle une d'Albert Jacquart, dans "mathématique à l'usage des non mathématiciens" et qui refuse le statut de nombre aux complexes (C) au prétexte que ce ne sont pas des nombres, mais des couples de nombres.

La perte de la relation d'ordre est un point important en physique qui fait dire à certains physiciens qu'une mesure ne peut qu'être réelle. (et non complexe)

Cela rejoint ma première remarque : je vais enfin savoir la définition d'un nombre.

@ médiat :
Je n'ai pas vu apparaitre les notions de scalaire, vecteur, tenseur, très utilisées en physique. (C'est sans doute trop à la marge?)

La construction des hypercomplexes est en 2^n, ce qui n'est pas pratique pour modéliser l'espace 3D des physiciens. R^3 serait-il maudit? (pas de bonnes propriétés?)

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour

Je ne tiens absolument pas à entrer dans une polémique, même avec Albert Jacquart, pour savoir ce qui a le droit de s'appeler nombre et ce qui n'en a pas le droit ; une fois de plus c'est une question de mon fils qui a déclenché ce désir chez moi, son professeur de mathématiques (en 3^ième) a titillé la curiosité de ses élèves en parlant des nombres complexes et de racine de -1, donc j'ai évoqué les différentes constructions qui font passer de IN à C (sans vraiment parler de complèté) constructions qui sont justifiées par le désir de résoudre des équations (et de trouver des limites à des suites qui ont tout ce qu'il faut pour en avoir), à sa dernière question : "est-ce qu'on peut aller plus loin ?" je me suis dit que ce sujet pourrait intéresser plusieurs personnes ...

De la même façon je ne veux pas rentrer dans une polémique pour savoir si le physicien mesure des proto-nombres ou des sédénions, la seule chose qui va m'intéresser sur ce sujet, c'est : "est-ce que le physicien trouve tel ensemble utile, et pouquoi".

Cela rejoint ma première remarque : je vais enfin savoir la définition d'un nombre.

Pas sûr, cf. ci-dessus .

Je n'ai pas vu apparaitre les notions de scalaire, vecteur, tenseur, très utilisées en physique. (C'est sans doute trop à la marge?)

Ce n'est pas le but, on parlera forcément de vecteurs (puisque nous parlerons d'algèbres), et dans ma première liste la notion de Tensor Algebra apparaissait, mais, a priori, je l'ai fait sauter, ce n'est plus le coeur du sujet.

La construction des hypercomplexes est en 2^n, ce qui n'est pas pratique pour modéliser l'espace 3D des physiciens. R^3 serait-il maudit? (pas de bonnes propriétés?)

Déjà prévu : 2.8. ALGEBRE NATURELLE 3D (mais je ne pense pas que ce soit le bon chapitre).

[stefjm]

Déjà prévu : 2.8. ALGEBRE NATURELLE 3D (mais je ne pense pas que ce soit le bon chapitre).

Oups...Pardon.
Je ne savais pas le nom officiel.

Pour le terme de "nombre", la remarque de Jacquart m'avait juste surpris. Je ne crois pas qu'il y ait matière à polémique.

[invite7863222222222]

Bonjour,

personnellement, je dirais seulement qu'une idée de tentative de définition par la physique, m'étonne considérablement.

[invite6754323456711]

Pour le terme de "nombre"

Il me semble que s'intéresser aux propriétés tel que traduit par exemple par la table de multiplication peut faire émerger les invariants indépendants de tout point de vue / interprétation. Essayer de rendre "concret"/ "familier" ce qui nous paraît encore "abstrait".


Patrick

[invite7863222222222]

faire émerger les invariants indépendants de tout point de vue / interprétation.

Non, la définition de nombre ne saurait être un voeu pieux.

[invitef591ed4b]

Pourquoi ne pas parler des ensembles de nombres issus de la théorie de la calculabilité ? Ensembles récursifs, récursivement énumérables, approximables, créatifs, productifs, ...

[Médiat]

Parce que cela nous entrainerait trop loin, j'ai juste prévu :
5.5. NOMBRES CALCULABLES

Maintenant, si quelqu'un veut les écrire ...

[Médiat]

Bonjour,

Pour information, les ensembles suivants sont pris en charge :

Extensions algébriques
Extensions transcendantes
Clôture algébrique de Q
Nombres réels
Nombres complexes
Nombres dyadiques
Nombres p-adiques
Entiers d'Eisenstein
Entiers de Gauss
Quaternions
Octonions
+
entiers naturels
entiers relatifs
rationnels.
ordinaux
cardinaux
algèbres

Il reste beaucoup de possibilités pour les volontaires ...

[Médiat]

Bonjour,

Dans un premier temps j'avais envisagé de ne publier ce document qu'une fois terminé et non chapitre par chapitre, j'ai changé d'avis pour plusieurs raisons :

1) Aucun volontaire ne s'est déclaré pour relire le document avant publication, donc autant le publier et chaque lecteur qui fera une remarque jouera ce rôle
2) Nous ne sommes que 3 rédacteurs, ce qui veut dire que ce document ne pourra être fini avant très longtemps.


Donc voici le premier chapître (les quaternions n'était là que pour l'exemple et non comme un chapitre finalisé).


Je lirai avec beaucoup d'attention toutes les suggestions et remarques.


Si quelqu'un possédait le livre de Kantor et Solodovnikov, peut-être pourrait-il suggérer quelques améliorations.


J'ajoute un "Warning" : j'ai affirmé dans ce document (§ 4.5.3) que le type des hypercomplexes en dimension 1+1 dépend de b² + 4a, après avoir fait (et refait la démonstration qui est élémentaire), mais la seule référence trouvée sur le net fait dépendre ce type de b² - 4a. Si quelqu'un avait accès au livre : John H. Ewing editor (1991) Numbers, Springer, ISBN 3540974970 afin de vérifier, cela me rassurerait. A moins que certains refassent la démonstration de leur côté .

Bonne lecture (j'espère)

Une précision : Les partie de texte en rouge sont ds liens internes qui ne fonctionneront que dans le document définitif, les parties en bleu sont des liens vers des documents du web qui doivent fonctionner.

[invitebe0cd90e]

Salut,

En utilisant tes notations, je suis d'accord avec toi: une telle algèbre s'obtient, sauf erreur, comme quotient de R[X] par un polynome (unitaire) de degré 2, et à isomorphisme près sa structure ne dépend que de la nature des racines de ce polynome. Dans ton cas le polynome est dont le discriminant est bien . Si on prend la notation plus classique du point de vue polynome on retrouve .

SI je peux me permettre une petite suggestion: un "nouvel" ensemble de nombre qui me parait interressant est l'ensemble des "periods". Cet ensemble vise, en un certain sens, a généraliser l'ensemble des nombres algébriques (au sens ou il est (conjecturalement) possible de les manipuler algebriquement/algorithmiquement) mais en incluant des nombres transcendants qui apparaissent en maths (, les valeurs de zeta etc..). http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_of_periods

[Médiat]

Bonjour et merci de ton analyse,

J'en déduis que c'est bien le site dont je parlais qui était dans le faux.

Pour les "periods" (que je ne connaissais pas, merci) cela me semble lié aux notions de nombres définissables, calculables, récursivement définissables etc., une partie que j'avais plus ou moins décidé de ne faire qu'effleurer, mais si tu es volontaire pour écrire ce chapitre : tu es le bienvenu .

[invite2b14cd41]

Je suis interessé.. mais n'etant qu'en sup je ne peux pas vraiment aider...
Sauf peut-être pour les constructions les plus simples: N,Q,C et je connais même une construction de R (avec les sections commencantes ouvertes de Q).

[Médiat]

Première faute de frappe : dans la définition d'une norme dans la démonstration concernant le produit vectoriel, il y a une parenthèse en trop.
Une deuxième : l'indice dans la partie mode de construction (dernière ligne du premier paragraphe).

[Médiat]

Je suis interessé.. mais n'etant qu'en sup je ne peux pas vraiment aider...
Sauf peut-être pour les constructions les plus simples: N,Q,C et je connais même une construction de R (avec les sections commencantes ouvertes de Q).

Bonjour et merci de votre proposition. En sup vous avez toutes les compétences pour écrire quelques chapitres quitte à chercher un peu sur le net .

Par contre certains chapitres sont déjà attribués : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3346930

[Médiat]

Deuxième livraison :

Toutes les suggestions d'amélioration, d'ajout, de correction sont les bienvenues (y compris concernant la présentation).

[Seirios]

Vous mentionnez que l'on trouve la variante , mais cela définit bien la même algèbre (à un isomorphisme près), non ?

(au passage, il y a une parenthèse de trop en 1.1.5 après l'écriture de la matrice)

[Médiat]

Vous mentionnez que l'on trouve la variante , mais cela définit bien la même algèbre (à un isomorphisme près), non ?

Non, il suffit de prendre comme exemple n = 2, dans un cas on trouve les complexes (donc un corps), alors que dans l'autre on trouve les "complexes fendus" qui contiennent des diviseurs de 0 : (1-e)(1+e) = 1-e² = 0

(au passage, il y a une parenthèse de trop en 1.1.5 après l'écriture de la matrice)

Merci, je corrige.

[Médiat]

Voici une nouvelle livraison.

Le temps entre deux chapitres est très long, pour diminuer ce temps, je suis toujours à la recherche de contributeurs afin de nous donner un coup de main.

Toutes les remarques et critiques constructives sont les bienvenues.