Ensembles de "Nombres"

**Médiat** · 24/01/2011, 18h24

A peine 10 affichages et aucune réaction à la livraison précédente, je suis à deux doigts d'abandonner, à moins que les volontaires avoués ne me demande de continuer, ou que de nouveaux apparaissent.

En tout état de cause voici un nouveau chapitre sur l'ensemble de nombre le plus "simple".

invite2b14cd41 · 24/01/2011, 18h47

Envoyé par Médiat

A peine 10 affichages et aucune réaction à la livraison précédente, je suis à deux doigts d'abandonner, à moins que les volontaires avoués ne me demande de continuer, ou que de nouveaux apparaissent.

En tout état de cause voici un nouveau chapitre sur l'ensemble de nombre le plus "simple".

Pas mal les deux derniers articles.. J'ai préféré le corps de Levi-Civita.

**Médiat** · 24/01/2011, 18h58

Envoyé par pol92joueur

J'ai préféré le corps de Levi-Civita.

Moi aussi

.
Les proto-nombres n'ont pas beaucoup d'intérêt mathématique, mais plutôt historique, linguistique et sociologique

**Seirios** · 24/01/2011, 20h24

L'exemple sur les enfants dans le document sur les proto-nombres me font penser à quelque chose d'analogue sur la vision : lorsque l'on regarde une série d'objets, on peut donner le nombre d'objets si celui-ci est inférieur à quatre (sans compter, juste d'un coup d'oeil), sinon on sait simplement qu'il y en a plus.

**stefjm** · 24/01/2011, 22h09

Envoyé par Phys2

L'exemple sur les enfants dans le document sur les proto-nombres me font penser à quelque chose d'analogue sur la vision : lorsque l'on regarde une série d'objets, on peut donner le nombre d'objets si celui-ci est inférieur à quatre (sans compter, juste d'un coup d'oeil), sinon on sait simplement qu'il y en a plus.

J'avais en tête le même exemple avec les poussins d'une poule...

**Seirios** · 25/01/2011, 09h35

Pour le document sur le corps de Levi-Civita, je me demandais si l'on ne pouvait pas remplacer dans la définition, $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , pour enlever la propriété fini à gauche ?

Une remarque typographique : dans la première équivalence du 1.1.3, ce ne serait pas plus clair avec quelques parenthèses supplémentaires, pour séparer les deux équivalences ? (Personnellement, il a fallu que je relise plusieurs fois pour comprendre ce qui était écrit.)

Je crois qu'il y a également un problème au niveau de la définition de la relation d'ordre, il doit manquer quelque chose

Dans la remarque (dans 1.1.4) sur le caractère non archimédien du corps (d'ailleurs, il y a un petit t en trop dans le premier mot), on pourrait faire le lien avec le $\text{[math]}$ vu comme une quantité infinitésimale, comme évoqué dans la définition, puisqu'alors pour tout n, $\text{[math]}$ , non ?

Une dernière question : la question de l'inverse est-elle si compliquée que l'on ne puisse pas en avoir un avant goût ?

**Médiat** · 25/01/2011, 10h11

Envoyé par Phys2

Pour le document sur le corps de Levi-Civita, je me demandais si l'on ne pouvait pas remplacer dans la définition, $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , pour enlever la propriété fini à gauche ?

Si, on peut

. Mais le résultat est un autre ensemble qui n'est plus un corps. A tout hasard, dans notre système de numération l'ensemble des entiers relatifs pour lesquels le coefficient de la puissance de 10 associée n'est pas nul est fini à droite (nombre infini de chiffres à droite de la virgule et fini à gauche, le contraire pour les p-adiques).

Une remarque typographique : dans la première équivalence du 1.1.3, ce ne serait pas plus clair avec quelques parenthèses supplémentaires, pour séparer les deux équivalences ? (Personnellement, il a fallu que je relise plusieurs fois pour comprendre ce qui était écrit.)

Aucun doute, je corrige (d'habitude je mets plutôt trop de parenthèses que pas assez, mais là, j'ai tout faux

).

Je crois qu'il y a également un problème au niveau de la définition de la relation d'ordre, il doit manquer quelque chose

Grosse faute de frappe :
il faut remplacer + par <

Dans la remarque (dans 1.1.4) sur le caractère non archimédien du corps (d'ailleurs, il y a un petit t en trop dans le premier mot), on pourrait faire le lien avec le $\text{[math]}$ vu comme une quantité infinitésimale, comme évoqué dans la définition, puisqu'alors pour tout n, $\text{[math]}$ , non ?

Je ne vois pas le t en trop ? Pour la deuxième remarque : oui

Une dernière question : la question de l'inverse est-elle si compliquée que l'on ne puisse pas en avoir un avant goût ?

La démonstration se trouve dans le document New Elements of Analysis on the Levi-Civita Field (dans la partie référence) à partir du théorème 3.3.

merci pour vos remarques et votre intérêt.

**Seirios** · 25/01/2011, 10h25

Je ne vois pas le t en trop ?

"Ont peut ainsi remarquer qu'avec cette définition, et pour tout n : $\text{[math]}$ ."

**Médiat** · 25/01/2011, 10h28

Oh la honte, je me demande si je ne vais pas effacer tous ces messages

**Médiat** · 25/01/2011, 17h37

Nouvelle livraison

**Seirios** · 26/01/2011, 10h31

Je l'ai un peu moins compris celui-ci (au niveau de la justification, pas de la construction par elle-même (je n'ai que quelques connaissances bien maigres sur les treillis et les extensions de corps)), mais j'y ai tout de même repéré quelques fautes de frappe

:

Je pense que la base topologique est formée par les ensembles $\text{[math]}$ (et il y a un point d'exclamation à la fin de l'expression dans le document, on ne sait pas vraiment ce qu'il fait là) ; et au 1.1.6, il doit manquer un e à trouvé

**Médiat** · 26/01/2011, 11h09

Bonjour,

Merci de ces deux remarques justifiées.

Si la justification de cet ensemble vous semble moins évidente, c'est peut-être à cause de votre pseudo lié à la remarque :

Aucune référence attestant de l'utilisation des Supernaturels en physique n'a pu être trouvée.

Il y a une autre justification (mais je doute qu'elle vous convainque plus que les autres

) :
Il existe un isomorphisme de treillis entre $\text{[math]}$ et les pseudovariétés de groupes abéliens.

**Médiat** · 27/01/2011, 18h47

Une nouvelle livraison, cette fois j'ai regroupé tous les chapitres disponibles dans un seul fichier, le nouveau chapitre est "Super-réel (David Tall" et commence page 10.

Je suis à la recherche de suggestion pour améliorer la présentation, en particulier de la première page, et des équations un peu compliquées de ce nouveau chapitre.

*** Suppression de la pièce jointe : cf. parmi les messages de fin ***

**Médiat** · 28/01/2011, 05h47

J'ai trouvé un moyen d'améliorer (un peu) le rendu des équations compliquée et deux parenthèse fermantes ont été ajoutées.

Ces modifications seront visibles dans la prochaine livraison.

**Médiat** · 29/01/2011, 12h45

Un nouveau chapitre, concernant les décimaux, qui est accessible avec un niveau lycée.

*** Suppression de la pièce jointe : cf. parmi les messages de fin ***

**Seirios** · 02/02/2011, 10h38

Dans le chapitre sur les décimaux, il est écrit que $\text{[math]}$ est inversible ssi a s'écrit sous la forme $\text{[math]}$ : je suppose que le 3 est une faute de frappe, et qu'il s'agit d'un 5, mais ne faut-il pas également que $\text{[math]}$ ?

Sinon, il est normal que les relations d'ordre soient toujours strictes ? (peut-être que cela n'a aucune importance ?)

Dans le chapitre sur les superréels, il manque quelques parenthèses dans l'expression permettant de vérifier que $\text{[math]}$ est bien un infinitésimal (et puis évantuellement un point d'interrogation dans la question du 5.1.6).

D'ailleurs, je ne comprends pas très bien cette expression : pour tout réel, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc le coefficient entrant en jeu dans la comparaison devrait être celui devant le $\text{[math]}$ , donc il faut se demander si $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , non ? Mais dans ce cas, $\text{[math]}$ est plus petit que les réels positifs et plus grand que les réels négatifs...

Une dernière question : Que note-t-on $\text{[math]}$ ? L'ensemble des séries de la forme $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ des réels ?

invite14e03d2a · 02/02/2011, 13h37

Salut,

j'ai survolé le document. Cela serait bien, je pense, de rajouter un petit chapitre d'introduction pour définir les principales structures algébriques utilisées: monoïde, semi-groupe, groupes, anneaux, etc...
Surtout que d'un livre à un autre, les définitions varient. Je peux m'en occuper.

**Médiat** · 02/02/2011, 16h27

Bonjour,

Chaque chapitre est censé avoir une introduction générale, plus une pour le document en entier, j'avoue que je n'avais pas pensé rappeler les définitions des différentes structures, mais c'est une excellente idée (ne pas oublier les treillis).

Envoyé par taladris

Je peux m'en occuper.

Une encore meilleure idée

.

Je vais me recoucher avec ma grippe, je répondrai à phys2 plus tard.

**Médiat** · 04/02/2011, 10h33

Envoyé par Phys2

Dans le chapitre sur les décimaux, il est écrit que $\text{[math]}$ est inversible ssi a s'écrit sous la forme $\text{[math]}$ : je suppose que le 3 est une faute de frappe, et qu'il s'agit d'un 5, mais ne faut-il pas également que $\text{[math]}$ ?

Il s'agit bien d'un 5, par contre je ne suis pas d'accord sur la deuxième condition, par exemple si x = 8/10, c'est à dire $\text{[math]}$ , on a bien |n-m| > b et pourtant x est inversible puisque $\text{[math]}$

Envoyé par Phys2

Sinon, il est normal que les relations d'ordre soient toujours strictes ? (peut-être que cela n'a aucune importance ?)

C'est un choix volontaire, qui n'a pas de conséquence la relation stricte étant définissable à partir de la relation non stricte et vice-versa ; l'important (et je n'ai pas vérifié) est que j'ai été cohérent sur ce choix)

Envoyé par Phys2

Dans le chapitre sur les superréels, il manque quelques parenthèses dans l'expression permettant de vérifier que $\text{[math]}$ est bien un infinitésimal (et puis évantuellement un point d'interrogation dans la question du 5.1.6).

Corrigé, merci.

Envoyé par Phys2

D'ailleurs, je ne comprends pas très bien cette expression : pour tout réel, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc le coefficient entrant en jeu dans la comparaison devrait être celui devant le $\text{[math]}$ , donc il faut se demander si $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , non ? Mais dans ce cas, $\text{[math]}$ est plus petit que les réels positifs et plus grand que les réels négatifs...

Il manquait quelques précisions dans les définitions, mais il est clair que $\text{[math]}$ est plus petit que tous les réels positifs (c'est le point important), et plus grand que tous les réels négatifs (normal qu'un nombre positif soit plus grand qu'un nombre négatif).

Envoyé par Phys2

Une dernière question : Que note-t-on $\text{[math]}$ ? L'ensemble des séries de la forme $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ des réels ?

Oui, c'est bien cela, c'est la notation traditionnelle.

Merci de votre collaboration.

Je vais mettre votre pseudo dans la liste des auteurs, si vous voulez apparaître sous une autre forme, il vous suffit de me le faire savoir.

invite9617f995 · 04/02/2011, 22h17

Bonjour,

Tout d'abord merci à Médiat et à tous ceux qui ont participé ou participeront à ce projet.

Ensuite, j'aimerais aussi participer mais mes connaissances mathématiques restant assez limitées, les sujets à ma portée s'en trouve assez réduits. J'aimerais cependant essayé de rédiger un petit quelque chose sur l'ensemble des entiers modulo p qui il me semble n'a pas été pris en charge pour l'instant, en espérant que le résultat pourra être utilisé.

Pour tout vous avouer, bien que j'ai déjà entendu parler de cet ensemble et de quelques unes de ses propriétés, je ne l'ai jamais étudié et en m'y intéressant un peu, je me suis posé une question à son sujet (vous me direz c'est un comble pour celui qui compte rédigé un document dessus mais bon ...) :
Est-il permis d'appeler cet ensemble Z/pZ (notation que j'ai vu sur divers sites), alors que Z/pZ est je crois un ensemble de classes d'équivalence et non de nombres, même si ces classes peuvent s'identifier à un entier modulo p ?
Et si l'on parle bien de l'ensemble des entiers modulo p et non des classes, est-ce que cette identification constitue une construction classique de l'ensemble ?

Voilà, merci d'avance pour vos réponses,
Silk

Ps: petite remarque en passant, je suis vraiment curieux de voir le chapitre sur les algèbres 3D naturelles

**Seirios** · 04/02/2011, 22h51

Est-il permis d'appeler cet ensemble Z/pZ (notation que j'ai vu sur divers sites), alors que Z/pZ est je crois un ensemble de classes d'équivalence et non de nombres, même si ces classes peuvent s'identifier à un entier modulo p ?
Et si l'on parle bien de l'ensemble des entiers modulo p et non des classes, est-ce que cette identification constitue une construction classique de l'ensemble ?

On fait souvent cette identification. On construit d'ailleurs les relatifs et les rationnels grâce à une relation d'équivalence, en identifiant les nombres aux classes d'équivalence ; de même pour les réels ou les nombres p-adiques, le complété se construisant via une relation d'équivalence sur l'ensemble des suites de Cauchy.

**Médiat** · 04/02/2011, 23h09

Bonjour,

Et d'abord merci.

Envoyé par silk78

J'aimerais cependant essayé de rédiger un petit quelque chose sur l'ensemble des entiers modulo p qui il me semble n'a pas été pris en charge pour l'instant, en espérant que le résultat pourra être utilisé.

Vous avez raison, ce sujet n'est pas encore démarré, cependant j'ai déjà pris quelques notes que je vous enverrai (elles sont manuscrites pour l'instant) par MP dès demain.

Etes-vous habitué à latex ou non (ce n'est pas obligatoire) ?

Et pas de problème pour identifier des classes d'équivalence avec des nombres, on fait cela systématiquement ...

invite9617f995 · 04/02/2011, 23h31

Bonsoir,

Latex oui je connais les bases, assez je pense pour rédiger quelques propriétés.

Merci Médiat pour les notes et merci phys2 et Médiat pour les réponses.

**Médiat** · 05/02/2011, 08h39

Nouvelle version avec deux gros morceaux : N et Z, grace à taladris, que je remercie ici.

*** Suppression de la pièce jointe : cf. parmi les messages de fin ***

**Seirios** · 05/02/2011, 09h09

C'est un choix volontaire, qui n'a pas de conséquence la relation stricte étant définissable à partir de la relation non stricte et vice-versa ; l'important (et je n'ai pas vérifié) est que j'ai été cohérent sur ce choix)

Ce n'est cependant plus le cas avec les articles sur N et Z (ce qui n'a pas vraiment d'importance de toute manière...).

Sinon il manque une parenthèse dans le premier paragraphe du 2.3.6

**Médiat** · 05/02/2011, 09h43

Envoyé par Phys2

Ce n'est cependant plus le cas avec les articles sur N et Z (ce qui n'a pas vraiment d'importance de toute manière...).

C'est le risque quand on écrit à plusieurs mains ...

Envoyé par Phys2

Sinon il manque une parenthèse dans le premier paragraphe du 2.3.6

Corrigé, merci.

**Médiat** · 10/02/2011, 13h14

Nouvelle version qui intègre le travail de taladris et de phys2 :

Généralité sur les structures algébriques
La droite réelle achevée.

Bientôt les contributions de telchar et de tigerfou.

*** Suppression de la pièce jointe : cf. parmi les messages de fin ***

**Seirios** · 11/02/2011, 20h51

Pour le chapitre sur les structures algébriques : juste deux petites fautes de frappe à la toute fin du 2.1.2 (il s'agit sans doute de quasi-groupe) et dans la définition d'un morphisme d'annélides (une parenthèse a remplacé un ', et il manque un s à annélide pour être cohérent avec l'orthographe du reste du chapitre).

Pour le chapitre sur la droite réelle achevée : j'ai oublié de supprimer la précision entre parenthèses dans 3.1.3 ("c'est-à-dire que ..."), qui est complètement explicitée par la définition d'un compactifié dans l'introduction ; par contre, il n'y a pas un petit problème avec les tableaux (dans les autres chapitres d'ailleurs) au niveau des séparations des cases en début de ligne et de colonne ? (je ne sais pas si c'est modifiable, personnellement j'évite autant que possible de faire des tableaux sous LaTeX, cela devient vite une horreur

)

**Médiat** · 12/02/2011, 07h04

Bonjour,

Merci, toutes les corrections apparaîtront à la prochaine livraison.

Pour les tableaux (si un expert Latex a des idées, je suis preneur), les défauts apparaissent à l'écran mais pas sur papier ...

invitec2414ae7 · 15/02/2011, 15h24

Bonjour,

Les "defauts" en question sont dus à la résolution de l'affichage du pdf (c'est pour ça qu'ils n'apparaissent pas à l'impression). Si on zoome dessus il doivent normalement disparaitre.

Affichage des résultats du sondage: Etes-vous intéressé par un tel document ?

Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Re : Ensembles de "Nombres"

Discussions similaires

"fondamentales", "dures", "molles" ... : comment classer les sciences ?

théorie des ensembles : "pour tout x"