Ensembles de "Nombres"

[Médiat]

Bonjour,

Deux nouveaux chapitres (plus une amélioration notable de la présentation, grâce à tigerfou).

Nombres complexes duaux : si quelqu'un voulait ajouter un paragraphe sur la géométrie Galiléenne, cela permettrait d'améliorer ce chapitre.

Nombres surréels : c'est un chapitre très particulier car accessible sans aucune connaissance mathématique (même pas que 0 + 1 = 1, ou que 0 = 0), et même pour bien comprendre ce chapitre il vaut mieux désapprendre tout ce que l'on sait.
Sans aucune connaissance, mais j'avoue qu'une légère habitude de la manipulation des expressions littérales est néanmoins utile.

Le point le plus important à comprendre c'est que "tous les éléments de l'ensemble vide vérifient la propriété p(x)", ou, ce qui est équivalent, "il n'existe pas d'élément dans l'ensemble vide qui vérifie la propriété q(x)".

Si quelqu'un pouvait me confirmer que la phrase : "Surreal numbers can be a basis for the Feynman checkerboard representation of the many-worlds of sum-over-histories quantum field theory." a un sens physique (Le nom de Feynman n'est pas une garantie pour un document trouvé sur le net )

*** Suppression de la pièce jointe : cf. parmi les messages de fin ***
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[Médiat]

Voici l'avant-dernier chapitre sur les "infinitésimaux", j'avais prévu trois chapitres de plus :

• Les pseudo-nombres ne semblent pas très intéressant (je n'ai pas trouvé beaucoup de doc sur le net, et j'ai du mal à voir leur intérêt (sauf en théorie des jeux)). Je me contenterai d'ajouter un paragraphe dans le chapitre Surréels
• Les Super-réels de Dales et Woodin, sont plus compliqués que les autres ensembles, et il existe peu de documents sur le Net, à part le livre de Dales et Woodin que l'on trouve pour 360 $ sur le net. Je me contenterai d'ajouter un paragraphe dans le chapitre Superréels (de Tall)
• Les "smooth infinitésimaux", qui verra le jour.

Bien sur si quelqu'un avait des informations, je suis preneur.


*** Suppression de la pièce jointe : cf. parmi les messages de fin ***

[Seirios]

Je n'ai pas encore lu les nouveaux chapitres, mais en tout cas la première page est impécable

[Médiat]

la première page est impécable

Je suis bien d'accord, merci encore à tigerfou

[doul11]

Bonjour,

Un très beau document, autant sur la forme que sur le fond, c'est clair et concis, il y a de nombreuses références, j'apprécie particulièrement le paragraphe "utilisation en physique".

Bravo aux co-auteurs, ce fil mériterais d'être épinglé en tête du forum.

[Médiat]

Merci de ces encouragements, qui vont nous motiver encore plus ....

[invite2b14cd41]

Très bon document (le final.pdf)

[DarK MaLaK]

Bonjour, j'ai téléchargé le pdf mais je ne l'ai pas encore lu. En tout cas, je m'étais déclaré favorable à l'idée et je sens que je ne vais pas être déçu ! J'ai juste une question : est-ce que le document parle des nombres premiers, transcendants, etc. ou bien construit-il les ensembles de nombres "classiques" uniquement ? Et aussi, traite-t-il de la "taille" respective des infinis de chaque ensemble (c'est une question qui m'intéresse) ?

[Médiat]

est-ce que le document parle des nombres premiers, transcendants,

Non, en tout cas pas pour l'instant, d'ailleurs mettre le doigt la dedans pourrait entrainer très loin (par exemple : http://fr.wikipedia.org/wiki/Cat%C3%...te_d%27entiers, ou http://fr.wikipedia.org/wiki/Cat%C3%...re_figur%C3%A9)

ou bien construit-il les ensembles de nombres "classiques" uniquement ?

C'est plutôt la piste de la construction qui est effectivement suivie, même pour des ensembles peu classiques.

Et aussi, traite-t-il de la "taille" respective des infinis de chaque ensemble (c'est une question qui m'intéresse) ?

C'est effectivement précisé dans quelques cas, ce pourrait l'être systématiquement : bonne idée.

[DarK MaLaK]

Si tu peux ajouter quelques considérations sur les infinis dans les prochaines mises à jour, je t'en saurais gré ! En tout cas, je ne soupçonnais pas l'existence d'un si grand panel de nombres... Tout pourrait être inclus dans le PDF, mais ça dépend de son objectif au niveau de la concision : est-ce un petit résumé bien structuré sur les nombres ou bien le document le plus complet sur ce sujet de toute l'histoire des mathématiques ?

[Médiat]

Si tu peux ajouter quelques considérations sur les infinis dans les prochaines mises à jour, je t'en saurais gré !

Il va y avoir un chapitre sur les ordinaux et les cardinaux et peut-être sur les cardinaux inaccessibles (je penche plutôt pour un paragraphe dans le chapitre sur les cardinaux).

est-ce un petit résumé bien structuré sur les nombres ou bien le document le plus complet sur ce sujet de toute l'histoire des mathématiques ?

Un document complet sur chaque ensemble : impossible, certains de ces ensembles mériteraient des centaines, voire des milliers de pages.

Pour information, la liste initiale, était un pense-bête et non un sommaire absolu, par exemple, le compactifié de IN a disparu, je doute de travailler sur les nombres de Musès (décision non définitive), j'ajouterai certainement les nombres cyclotomiques ...

[Médiat]

Bonsoir,

Une nouvelle version avec le travail de Taladris :

1) Des compléments dans la partie "généralités algébriques" (ajout des relations binaires sur un ensemble)

2) Les rationnels

A suivre : Les ordinaux et la méthode de Cayley-Dickson

*** Suppression de la pièce jointe devenue obsolète : cf. parmi les messages de fin ***

[Seirios]

J'ai quelques chapitres de retard, je vais les ratrapper un par un. D'abord, les rationnels :

Il manque une parenthèse à la toute fin de la page 14, et il manque un "e" à "représenté" au début de la page 15 (éventuellement un espace manquant dans la définition de la multiplication ">>et").

Sinon, la première phrase d'introduction mentionne que la construction de Q ressemble beaucoup à celle de Z, mais elles sont même identiques, il s'agit toujours de la symétrisation d'un demi-groupe (muni de quelques propriétés), non ?

[Médiat]

Bonjour,

Merci phys2, j'ai bien reporté ces corrections, et voici un nouveau chapitre, dû à Taladris, les ordinaux.

*** Suppression de la pièce jointe devenue obsolète : cf. parmi les messages de fin ***

[Seirios]

Pour les hyperréels (très bon paragraphe, d'ailleurs) : au début du 5.1.4, "beaucoups" ; au début du 5.1.3, il manque une parenthèse à l'expression de a ; dans la définition de la partie standard, il manque une parenthèse ) ; dans la définition standard de la limite également (enfin là on ne s'en rend pas bien compte ) ; vers le milieu du 5.1.6, "c'est-à-dire".

Sinon, je n'ai pas bien saisi la notion de monade : . Mais en tant que sous-ensemble de , on n'a pas simplement ? Faut-il comprendre ou bien suis-je passé à côté de quelque chose ?

[Médiat]

Bonjour,

Encore merci phys2, pour vos relectures attentives (beaucoups aurait dû me sauter aux yeux, mais les parenthèses dans la définition de la limite : ).

Pour la définition de la Monade(x), j'ai peur que vous ne confondiez *IR et IR*.

Dans *IR la Monade de 0 va contenir 0, bien sur, mais aussi tous les éléments "infiniment proches de 0".

Cordialement,

[Médiat]

Bonjour,

J'ai intégré les corrections vues par phys2 et ajouté le chapitre sur la méthode de Cayley-Dickson.

Si quelqu'un connaissait une bonne traduction de "Nicely normed" en français, je suis preneur .

*** Suppression de la pièce jointe devenue obsolète : cf. parmi les messages de fin ***

[stefjm]

Si quelqu'un connaissait une bonne traduction de "Nicely normed" en français, je suis preneur .

Ma prof de physique disait "kivabien" à propos de tout trucs de maths chiants.

[Médiat]

Ma prof de physique disait "kivabien" à propos de tout trucs de maths chiants.

Voilà trois raisons de remettre le pal au gout du jour (et je ne parle pas de croquettes) .

[invitec2414ae7]

Woaaa ça avance vite tout ça !

J'ai bientôt fini de travailler sur ce que j'ai à proposer (principalement des détails introductifs, références historiques et interprétations physiques ou géométriques de chapitres existants).

Deux questions :
- c'est normal que beaucoup de multiplications sont indiquées par un point en bas plutôt que centré ? ça fait bizarre je trouve...
- pourquoi un nouveau chapitre sur les complexes duaux : ne sont ils pas des hypercomplexes ?

[Médiat]

J'ai bientôt fini de travailler sur ce que j'ai à proposer (principalement des détails introductifs, références historiques et interprétations physiques ou géométriques de chapitres existants).

Bonne nouvelle.

- c'est normal que beaucoup de multiplications sont indiquées par un point en bas plutôt que centré ? ça fait bizarre je trouve...

Ce n'est pas normal et sera corrigé ; si des lecteurs attentifs voulaient bien dénoncer les coupables, je me ferais une joie de les exécuter

- pourquoi un nouveau chapitre sur les complexes duaux : ne sont ils pas des hypercomplexes ?

Le chapitre sur les hypercomplexes est générique, après chaque ensemble a ses propriétés spécifique. Si on ne faisait pas de chapitre spécifique sur les ensembles qui se trouvent être des hypercomplexes, cela voudrait dire qu'il n'y aurait pas de chapitre sur les complexes, les quaternions, les algèbres de Cayley-Dickson, les algèbres de Clifford etc.

[invitec2414ae7]

Effectivement, vu comme ça...

Sinon à propos de <<nicely normed>> on pourrait traduire par <<bien normé>> ?

[Médiat]

Sinon à propos de <<nicely normed>> on pourrait traduire par <<bien normé>> ?

C'est pas mal, mais je n'ai trouvé aucune référence en français de cette définition sur le net.

[invite986312212]

nice = gentil mais "gentiment normé" ça sonne un peu bizarre.

[Médiat]

nice = gentil mais "gentiment normé" ça sonne un peu bizarre.

J'avais aussi rejeté "Joliment normé"

[invite986312212]

on trouve parfois des expressions comme "the function behaves nicely..." et ça correspond à l'idée de régularité. Je propose donc "régulièrement normée" <mais ce n'est pas très joli>

[Seirios]

Pour la définition de la Monade(x), j'ai peur que vous ne confondiez *IR et IR*.

Dans *IR la Monade de 0 va contenir 0, bien sur, mais aussi tous les éléments "infiniment proches de 0".

J'ai regadé dans les documents de références pour voir si je pouvais y voir plus clair, et je pense qu'il y a un problème (ou alors c'est que je suis vraiment passé à côté du document...) : Comment définissez-vous entre deux éléments de ? Personnellement, je l'avais compris comme l'égalité modulo de deux représentants dans , donc finalement l'égalité dans , ce qui fait que la définition de monade ne sert pas à grand chose...
D'après le document de H. Keisler, j'en déduis que (avec ) signifie que est un infinitésimal (et alors je suis d'accord avec vous lorsque vous dites que la monade de 0 contient 0 et les infinitésimaux).

Finalement, qu'en est-il ?

[stefjm]

bien, joliment, merveilleusement, remarquablement, adroitement, avantageusement, favorablement, habilement, judicieusement, correctement, plaisamment, gentiment

Pour le français, il y a le choix!

nice, c'est mieux que well.

[Médiat]

Finalement, qu'en est-il ?

Ouh-là, j'avais pas fait attention, vous avez parfaitement raison, il manque une définition, et une notation cohérente à la place de , je corrige au plus vite.

*** Suppression de la pièce jointe devenue obsolète : cf. parmi les messages de fin ***

[Seirios]

C'est bien plus clair maintenant (par contre il y a une parenthèse de trop dans la définition de ).

Pour les surréels : un "où" dans la règle 2. Sinon, est-ce que ce ne serait pas mieux de mettre la règle 3 avant la règle 2 ? Dans la construction de Alling, que représente On ? (peut-être est-ce une notation connue, mais pas de moi...)