Salut,
Ma question se rapporte à une axiomatisation (simple) de la théorie des ensembles :
quand on écrit une "formule" comme ça :
à quoi on fait référence quand on écrit?
On parle de "TOUS" les objets mathématiques possibles ?
De quoi on parle exactement quand on fait référence à "x" ?
Merci.
Bonjours
en théorie des ensembles, les seuls "objets mathématiques" qui existent sont des ensembles*, et si on ne rejoute pas une précision du genre "pour tout x appartenant à V" alors les quantificateur "pour tout" et "il existe" signfie "pour tout ensemble x" et "il existe un ensemble x".
"De quoi on parle exactement quand on fait référence à "x" ?" >>> là je comprend pas trop ta question, x est une variable muette ici, donc justement à rien de particulier...
* : les objets auquelles tu es habitué sont représenté par des ensemble : l'entier 0 est l'ensemble vide, l'entier 1 est l'ensemble {vide}, et l'entier n est défini par récurence comme etant {0,1,...,n-1} etc... la pair (a,b) est l'ensemble {{a},{a,b}} et une fonction f:X->Y est définie comme un triplet (X,Y,G) où G (le graphe de la fonction) est une partie de X*Y sensé représenter l'ensemble des (x,f(x)) (et qui doit donc vérifier "pour tout x dans X, il existe un unique y dans Y tel que (x,y) appartiens à G)
Pour compléter ce que dit Ksilver, dans toutes les théories axiomatiques, les quantificateurs font références aux objets de cette théorie, par exemple, dans la théorie des groupes, si on écrit :
les variables x et y (qui sont des objets syntaxiques) représentent les éléments (qui sont des objets sémantiques) appartenant à un groupe. Et donc
Un sujet similaire a déjà été abordé là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ire-maths.html
Cette façon d'écrire les formules n'est pas spécifique de la théorie des ensembles, mais de l'axiomatique.
Une remarque supplémentaire : je ne suis pas fan de l'écriture
Qui, par sa typographie semble donner un statut différent à E et à x, j'aimerais mieux :
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
je me demande si le point d'exclamation est bien nécessaire ici...
Merci pour vos réponses, même si j'ai un peu du mal à suivre.
J'ai lu un peu de l'autre discussion, et les notions de "théorie" et de "modèles" me sont étrangères. (donc leurs différences aussi).
Durant les études on travaille avec des objets, et c'est assez frustrant de voir qu'il y a toujours quelque chose en dessous (différents "paliers").
Et c'est pas facile de se lancer la dedans. Ce n'est pas non plus quelque chose qu'on aborde tout de suite dans les études, on travaille d'abord sur des choses "plus hautes".
Est-ce que ça vaut le coup de s'intéresser à ces notions tout de suite ?
Et auriez vous des documents pour s'initier à tout ça ?
Merci.
Bien sur, l'axiome d'extentionalité permet d'affirmer qu'il peut en rester qu'un, pardon qu'il ne peut exister qu'un seul ensemble ne contenant rien, mais l'axiome de séparation permet d'affirmer qu'il existe, donc c'est toute la proposition qui est inutile, et plus généralement tous les théorèmes, puisqu'ils peuvent se déduire des axiomesEnvoyé par ambrosio
.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
je sens que les avis vont diverger...
à mon sens, on peut faire beaucoup de choses en maths avec juste une connaissance intuitive des la théorie des ensembles, et quasiment pas de connaissance de la Logique (c'est à peu près mon cas). Maintenant, il y a le risque de développer une intuition sur des bases fausses, dont il sera difficile de se débarrasser quand le besoin se fera sentir d'approfondir ces notions. D'autant que certains aspects de la théorie des ensembles sont un peu contre-intuitifs.
par ailleurs, la théorie des ensembles est très belle et c'est dommage de passer à côté. Pour ma part, je ne suis pas allé plus loin que la lecture du petit livre de Halmos, mais j'y ai pris grand plaisir (et puis tout oublié...)
La théorie des groupes, c'est les axiomes de groupes, et par conséquent, tous les théorèmes qui peuvent s'en déduire.
Un modèle de la théorie des groupes c'est ... un groupe.
Cela dépend de ce que vous voulez suivre comme études et de ce que vous voulez comprendre sur les fondements des mathématiques, éventuellement à titre personnel. Bon nombre de grands mathématiciens ne s'embarassent pas avec ces notions.
Sur la théorie des ensembles : le Krivine chez Cassini, ou les pdf de Dehornoy (sur le net).
Sur la théorie des modèles : http://www.math.psu.edu/simpson/cour...563/master.pdf (par exemple)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pour répondre simplement, ta phrase n'a pas vraiment de sens. En math, comme l'a dit Ksilver,Ta phraseen théorie des ensembles, les seuls "objets mathématiques" qui existent sont des ensembles
est incomplète. La plupart du temps, il faut
Exemple : définition de l'inclusion de A dans B
Je ne diverge pas sur ce point, malheureusement.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ce n'est pas exact, morph a bien préciséTa phrase
est incomplète.
Jetez un oeil sur le lien :
http://forums.futura-sciences.com/ma...ire-maths.html
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'ajoute http://www.msri.org/publications/boo...les/marker.pdf beaucoup plus court.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci pour les réponses et les documents.
Médiat parlait de la théorie des groupes par exemple ; dans cette théorie on utilise les ensembles, ça veut donc dire que la théorie des groupes est construite "dans" la théorie des ensembles ?
Merci.
En fait c'est là que ca ce mord un peu la queu : pour définir ce qu'est une théorie et un modèle de cette théorie on a bessoin de savoir ce qu'est un ensemble (une théorie = un language, c'est à dire un ensemble de symbole, ainsi qu'un ensemble de propositions construite à partir de ces symboles et des quantificateur appellé "axiome". un modèle = un ensemble d'objet "contenant" les constantes du langage et vérifiant les axiomes)
c'est là qu'il faut distinguer deux choses :
1)les "ensemble naifs" : c'est ceux qu'on utilise tous les jours, sans vraiment savoir les définirs et qui servent à faire toute les mathématiques y compris la théorie des modèles.
2)les ensembles "défini" par la théorie des ensembles, qui sont les élèment d'un modèle de la théorie des ensembles.
quand on fait de la théorie des groupes les ensemble n'existe pas : tous ce qui existe c'est UN groupe et les seul objet que l'on connait sont ses élèments. ce qui te fait dire qu'on a bessoin de la théorie des ensemble pour faire de la théorie des groupes, c'est qu'en utilisant la théorie des ensembles on peut construire un modèle de la théorie des groupes. mais ce n'est pas frocement un problème : il nous est impossible de construire "pour de vrai" un modèle de la théorie des ensembles mais ca empèche pas à beaucoup de gens de l'étudier et à encore plus de gens de travailler avec ^^
NB : mais rassure toi, tous ceci est très au dela de ce que tu es entrain d'étudier en ce moment, et si tu comprend pas tous c'est tous à fait normal !
Si on parle purement de théorie, c'est à dire des propositions démontrables à partir des axiomes, il n'est pas utile de faire appel à la théorie des ensembles.
Quand on parle d'un groupe, c'est à dire d'un "ensemble muni d'une loi de composition interne, vérifiant les axiomes ...", à partir du moment où le mot ensemble est apparu, il paraît légitime de se plonger dans un modèle de la théorie des ensembles (c'est le cas de toute la théorie des modèles), mais on peut se simplifier la vie et considérer qu'il s'agit d'une simple collection d'objets (mais alors, il faut se retenir de lui appliquer des résultats de la théorie des ensembles). La majorité des mathématiciens (dont ambrosio, si je ne m'abuse) peuvent très bien faire des mathématiques tous les jours sans se poser (sans se la poser tous les jours) la question de la théorie des ensembles.
J'ai déjà abordé ce point là :
http://forums.futura-sciences.com/ep...ensembles.html
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Salut,
Tu entends quoi par "se plonger dans un modèle ..." ?Quand on parle d'un groupe, c'est à dire d'un "ensemble muni d'une loi de composition interne, vérifiant les axiomes ...", à partir du moment où le mot ensemble est apparu, il paraît légitime de se plonger dans un modèle de la théorie des ensembles.
J'ai lu quelques machins sur les systèmes formels, et j'aimerais voir un peu comment ça fonctionnerait pour la théorie des groupes.
Si j'ai bien compris on définit d'abord un langage ; des règles de déduction ; et certaines phrases du langage qui deviendront les axiomes. (je connais vraiment très peu les systèmes formels).
Mais là voilà, si on veut parler de groupe on a besoin d'une notion d'ensemble (même vu comme simple collection).
Comment on introduit des "notions" dans un système ?
C'est via le langage ?
Ce serait des "notions primitives" du système ?
Bonsoir,
Considérer que l'ensemble sur lequel la loi de composition est définie, est un objet d'un modèle de la théorie des ensembles et non une simple collection.
Oui, c'est à peu près cela.
Brèves définitions : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2552522
Quelques définitions utiles en page 9 du pdf : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1980944
Pour parler de la théorie des groupes, il suffit de définir la logique que l'on va employer (logique égalitaire classique du premier ordre), le langage (un seul symbole de fonction d'arité 2), la liste des axiomes qui va bien. En tant que système formel, on n'a besoin de rien d'autre, on peut à partir de ces éléments démontrer les théorèmes de la théorie des groupes ("vrais" dans tous les groupes). Pour étudier des spécificités, il "suffit" d'ajouter des axiomes.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Donc lorsqu'on crée un modèle à partir d'une théorie, on peut réutiliser les objets du modèle dans un autre système formel ?
J'avais l'impression que chaque théorie était indépendante, que chaque théorie avait son propre système formel, et que les systèmes formels étaient indépendants justement.
Même si j'ai pas bien saisi la notion de modèle, lorsqu'on créé un modèle à partir d'une théorie, quel est son "statut" ; il fait parti de la théorie ? (il appartient au système formel ?).
J'ai un peu de mal mais j'essaye de visualiser un peu comment ça se structure. Est-ce qu'on peut visualiser toute les mathématiques ? A partir justement de ces "structures" de systèmes formels ?
Merci.
Que voulez-vous dire exactement ?
La théorie des groupes et la théorie des groupes abéliens ne sont pas vraiment indépendantes.
Non, la théorie c'est la partie syntaxique, le modèle c'est la partie sémantique.
Je ne suis pas certain de comprendre la question ...
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je pense que j'ai encore du mal à comprendre ce qu'est une théorie, un modèle etc, et leurs différences ; je vais approfondir par moi même.
Mais pour ma dernière question je vais essayer de la préciser :
j'essaye de comprendre "où" est-ce qu'on se trouve lorsque l'on fait des maths.
Est-ce qu'on est toujours au sein d'une théorie quand on travaille sur des objets mathématiques ? (ou autre part ?).
Et voir comment ils sont liés entre eux, si ils "vivent" au même "endroit".
(d'ailleurs, qu'est-ce qu'un "objet mathématiques" ?).
Merci.
Deux magnifiques questions qui ont leur place en épistémologie et logique plus qu'ici, si j'ai un peu de temps j'essaierai de donner quelques pistes de réflexions (plus que des réponses toutes faites) demain dans la journée.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Comme promis, pour la première question :
Première piste : un théorème est de la forme p ⇒ q, le théorème ne se prononçant ni sur la « vérité » de p ni sur celle de q, mais uniquement sur celle de ⇒ (modulo la logique utilisée).
Il est toujours possible de considérer que p est un sous-ensemble fini d’axiomes d’une certaine théorie.
Deuxième piste : pour certains modèles (en particulier les modèles finis), il est possible de les décrire entièrement et sans ambigüité (à isomorphisme près) par une théorie du premier ordre, donc travailler dans le modèle, ou dans la théorie, c’est pareil.
Pour tous les modèles on peut considérer « la théorie du modèle », c'est-à-dire l’ensemble des propositions « vraies » dans ce modèle, et d’une certaine façon on travaille toujours dans cette théorie (puisqu'un théorème a toujours un ensemble fini d'axiomes comme prémisse), le problème, c’est que certaines de ces théories (celle (IN, 0, s, +, .) par exemple (s est la fonction successeur)), ne sont pas récursives (donc pas appréhendables par un être humain, ou un ordinateur), c’est le théorème d’incomplétude de Gödel. On ne travaille donc jamais que sur un sous-ensemble récursif de cette collection (fini pour un théorème, et récursif pour l'ensembles des théorèmes), que l’on peut tout à fait considérer comme une axiomatique d’une certaine théorie.
Un formaliste (comme moi) peut dire « Les mathématiques sont formelles », un platonicien (comme God’s Breath, que je cite ) « Les mathématiques sont formalisables », ce qui, d’un point de vue de la pratique est strictement la même chose.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
