Bonjour ,
au cours d'un calcul , je suis amené à calculer la quantité suivante :
Je m'en sors en intervertissant les symboles de limite et intégrale etje trouve, résultat confirmé par Maple.
Cependant , je ne suis pas certain qu'il soit trivial d'inverser ces deux symboles. Comment donner à mon calcul la rigueur nécessaire ?
Merci d'avance pour vos réponses
et pourquoi on pourrait pas intervertir intégrales et limites ici?
Les théorèmes le permettent facilement.
Mais ce n'est pas trivial de toujours les l'échanger c'est vrai.
A quel niveau te situe-tu? (quelle classe?)
Je viens de me rappeler que j'ai effectivement vu des théorèmes d'interversion. J'ai donc été rechercher mes cours sur l'intégrale de Lebesgue , et j'en ai recommencer la lecture , mais j'ai du mal à saisir toutes les questions de définitions. En effet , je bloque sur les premiers exercices d'application proposés dans mon cours . L'énoncé est le suivant :
•Soit f un fonction continue par morceaux sur [0 ; + Infini [
f et |f| sont-elles intégrables sur [0 ; 1] au sens de Riemann ? Oui
f et |f| sont-elles sommables sur [0 ; 1] au sens de Lebesgue ? Oui
Dans ce cas quelle différence y'a t-il entre les intégrales de Riemann et Lebesgue ? Je dirais aucune , mais je ne saurais pas expliquer pourquoi.
Y'a t-il une différence entre dire que l'intégrale de Riemann sur [0 ; + infini [ de f est absolument convergente et dire que f est sommable sur [0 ; + infini au sens de Lebesgue ? Je dirais oui , sinon je ne vois pas l'interet d'introduire une nouvelle notion , mais je ne saurais pas dire laquelle.
J'espère ne pas abuser avec toutes mes questions.
Sinon pour répondre à ta question , je suis en L3 de physique , j'avais déjà vu l'intégrale de Lebesgue , mais je n'avais pas saisi grand-chose , surtout par rapport à son interet et l'application des différents théorèmes , j'avais donc un peu zappé tout ça.
Je ne suis qu'en spé mais nous avons vu un théorème d'interversion limite intégrale dans notre cours, à raison de trois hypothèses à vérifier
- ta fonction sous le signe intégrale est intégrable et cpm sur l'intervalle considéré
- ta fonction tend vers une fonction f (pour les bornes considérées) et f est cpm sur l'intervalle considéré
- hypothèse de domination
