Intégrale et limite.

[invitee0808345]

Bonjour à tous!

Voilà je me posais une petite question toute simple à propos des intégrales, mais je ne suis pas sûr de ce que j'avance:

si on considère une fonction positive sur R+, dont l'intégrale tend vers 0 en l'infini (ce qui revient donc à dire que l'aire sous la fonction tend vers 0), est-ce que cela signifie que la fonction tend elle aussi vers 0 en l'infini?

J'avoue que ca me surprendrait un peu, mais je n'arrive pas à me contre-dire

Merci d'avance!
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[Seirios]

Bonjour,

si on considère une fonction positive sur R+, dont l'intégrale tend vers 0 en l'infini (ce qui revient donc à dire que l'aire sous la fonction tend vers 0), est-ce que cela signifie que la fonction tend elle aussi vers 0 en l'infini?

Comment l'intégrale d'une fonction positive pourrait tendre vers zéro ?

[invitee0808345]

Justement, est-ce que ca ne veut pas dire que la fonction est nécessairement nulle?

[Flyingsquirrel]

Justement, est-ce que ca ne veut pas dire que la fonction est nécessairement nulle?

Si la fonction que l'on intègre est continue, oui, elle est forcément nulle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0808345]

Attendez, en fait je me suis très mal exprimé, donc le mieux c'est que je vous donne mon exemple:

je trouve: intégrale entre 0 et x et x tendant vers
est-ce qu'alors en ?

[Flyingsquirrel]

je trouve: en

Quelles sont les bornes de l'intégrale ?

[invitee0808345]

J'ai corrigé désolé.

Et je précise que je sais que tend vers L réel... (L nul?)

[invitebe08d051]

Tu complique un peu le problème.
Soit une fonction positive sur et ayant une limite finie en .

Si Alors .

C'est bien cela ?

[Flyingsquirrel]

je trouve: intégrale entre 0 et x et x tendant vers
est-ce qu'alors en ?

Et je précise que je sais que tend vers L réel... (L nul?)

On a et comme pour , , alors il existe un réel tel que pour tout , . On en déduit que

Maintenant regarde ce qu'il se passe quand tend vers l'infini.

[invitee0808345]

Tu complique un peu le problème.
Soit une fonction positive sur et ayant une limite finie en .

Si Alors .

C'est bien cela ?

Oui voilà.



> flyingsquirrel: Je ne vois pas où tu veux en venir...

[Flyingsquirrel]

> flyingsquirrel: Je ne vois pas où tu veux en venir...

Regarde la dernière inégalité de mon message précédent. Quand tend vers l'infini, quelle est la limite du membre de gauche ? On sait que , donc que peux-tu en déduire ?

Edit : J'ai corrigé mon dernier message, il manquait 1/x dans la dernière inégalité. Désolé.

[invitee0808345]

Quand x tend vers l'infini, quelle est la limite du membre de gauche ? Quelle est celle du membre de droite (il faut distinguer le cas L=0 du cas L>0) ? Conclusion ?

Pour L>0 le membre de droite (et a fortiori celui de gauche) tend vers l'infini, mais il ne s'agit là que de l'intégrale de ma fonction... A moins qu'il y ait une absurdité que je n'aie pas saisie...

[Flyingsquirrel]

A moins qu'il y ait une absurdité que je n'aie pas saisie...

Oui, j'ai oublié les 1/x... Je viens de corriger mes deux derniers messages.

[invitee0808345]

Ok je crois que j'ai compris: on arrive à L inférieur ou égal à 0
Or L positif ou nul.
Donc L=0

C'est bien ça non?

En tout cas merci pour tout!

[Flyingsquirrel]

C'est bien ça non?

Oui !