limite intégrale

[invite425270e0]

Plop,

Voilà une belle intégrale :

limite quand x tends vers 0+ de : intégrale de 2x à 3x de exp(t)/sin(t)
Sympa comme intégrale, dont j'ai toujours pas trouver la limite... Si quelqu'un à des idées ^^
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[invitec053041c]

Salut,

Tu peux déjà majorer cette limite par 1/2..



Qui tend vers 1/2 pour x tendant vers 0 (au passage, la majoration de |1/sin(t)|, je l'ai faite pour 2x et 3x déjà inférieurs à pi/2).

[invitec317278e]

ça vaut ln(3/2).

Aide : trouver un équivalent simple en 0 de (e^x)/sin(x).

[invitec053041c]

ça vaut ln(3/2).

Aide : trouver un équivalent simple en 0 de (e^x)/sin(x).

Encore faut-il pouvoir justifier l'interversion limite/intégrale proprement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

suffit simplement de dire que la fonction est majorée au voisinage de 0, en valeur absolue, par une constante epsilon>1 de notre choix...donc l'intégrale de cette fonction tend vers 0 quand x tend vers 0, donc, etc...

[invitec053041c]

suffit simplement de dire que la fonction est majorée au voisinage de 0, en valeur absolue, par une constante epsilon>1 de notre choix...donc l'intégrale de cette fonction tend vers 0 quand x tend vers 0, donc, etc...

Il y a un os dans cette justification: les bornes de l'intégrale "bougent" et ne sont pas indépendantes du fameux epsilon, et donc, on n'a pas une maîtrise parfaite du comportement au voisinage de 0.
(même si, j'en conviens, la preuve tourne autour de cet équivalent).

[invitec317278e]

on peut travailler à epsilon fixé, et changer les bornes autant qu'on veut, dans une domaine raisonnablement proche de 0...au pire, on dit que la fonction est inférieure à 2 à côté de 0, et donc, l'intégrale tend vers 0...enfin, peu importe, il n'y a ici pas grande difficulté, ni grande technicité, c'pas comme si c'était une vraie inversion de limites style suite de fonctions ou autres.

[invite425270e0]

j'étais arrivée à exp(t)/sin(t) - 1/t, j'ai essayé de montrer qu'elle était continue pr majorer mais comment avez vous fait?

[invitec317278e]

Je détaille :


f est l'opposé de la fonction que j'ai définie tout à l'heure, elle tend vers 1.

Soit , alors, il existe tq pour , .
On a alors, pour tq , ceci :

D'où le résultat...

[invitec317278e]

j'étais arrivée à exp(t)/sin(t) - 1/t, j'ai essayé de montrer qu'elle était continue pr majorer mais comment avez vous fait?

C'est pas évident, qu'elle est continue ?

[invite787dfb08]

Ok pardon, elle doit être continue sur 0 ouvert ? (de toute façon elle est pas continue en 0...)

EDIT: C'est Universmaster, je suis chez GalaxieA440...

[invitec317278e]

Elle doit être continue sur le domaine d'intégration, ce qui est toujours le cas.

[invite787dfb08]

mais le domaine d'intégration c'est ]0,pi/2[ ?

[invitec317278e]

non, le domaine d'intégration, c'est [2x,3x], pour x strictement positif

[invitec317278e]

De toute façon, si tu es en sup', tu n'as pas le droit d'intégrer sur un intervalle ouvert.

[invitec053041c]

c'pas comme si c'était une vraie inversion de limites style suite de fonctions ou autres.

Ah ? On se ramène pourtant à :



Où I représente la fonction indicatrice.

[invitec317278e]

Je trouve un peu compliqué de vouloir se ramener à ça alors qu'on peut le faire en 1 ou 2 lignes sans utiliser de théorème à ce propos.
D'autre part, il me semble que universmaster est en sup' : pas de théorème de convergence dominée.

[breukin]

Moi, j'écrirais

exp t/sin t= f(t)/t avec f(t)=t.exp t/sin t continue (tend vers 1 en 0) et dérivable sur [0,3x]

et j'intègrerais par partie (1/t => ln t) sur [2x,3x]

[breukin]

Et en fait ça va marcher pour toute fonction f C2 autour de 0 , l'intégrale valant f(0).ln(3/2)

[invite425270e0]

Plop,

Sinon, une fois qu'on a trouvé que la limite allait être ln(3/2), bah ok on peut essayer de montrer que la différence tends vers 0, mais la limite est intuitée? ou un encadrement vous pousse à penser cela? (ou Maple )

[invitec053041c]

Plop,

Sinon, une fois qu'on a trouvé que la limite allait être ln(3/2), bah ok on peut essayer de montrer que la différence tends vers 0, mais la limite est intuitée? ou un encadrement vous pousse à penser cela? (ou Maple )

Intuité je dirais. Au voisinage de 0, exp(t)/sin(t) se comporte comme 1/t, et on intègre àa bourrinement entre 2x et 3x..

[invite425270e0]

Ok en fait c'est comme d'habitude, on cherche la limite à l'intérieur qui donne 1/t ^^

[invitec317278e]

Cependant, ça marche parce que l'équivalent dont on se sert, ici 1/t, est un bon équivalent, au sens où il est extrêmement proche de la fonction ; il n'y avait a priori pas de certitude que 1/t-(e^t/sin(t)) tende vers une limite finie.