Extraction des fluctuations de la pulsation d'un rythme musical

[invite8d56af0f]

Bonjour,

Dans le cadre de notre TIPE sur l'apprentissage de mouvements rythmique nous étudions les propriétés statistique d'événements localisés dans le temps. En pratique ce sont des frappes de batteurs enregistrées avec des capteurs de chocs dans les baguettes.
Le but est d'extraire les fluctuations du rythme pour montrer la présence de corrélations à long terme avec l'algorithme detrended fluctuation analysis (DFA) (pour faire un parallèle avec les étude du rythme de la marche) . Cette méthode d'approximation de l'exposant de Hurst est relativement simple pour les rythmes isochroniques comme ceux de la marche, des battements cardiaques, etc. Mais l'adaptation à des rythmes musicaux nous complique énormément la tâche.

Ces événements sont périodiques avec omissions, c'est a dire qu'une noire est composé de deux croches dont le seconde n'est pas frappée. Les intervalles de temps sont quantifiés par une horloge interne : la pulsation, de période T. Ce sont les fluctuations de cette horloge interne que nous souhaitons extraire.




Une première approche est de quantifier les intervalles par la pulsation : on note x_i les temps des frappes successives :

( [] désigne l'arrondis à l'entier le plus proche) On obtient une nouvelle série de temps y_i avec des intervalles quantifiés. Ainsi, donne la somme cumulée des erreurs.

Le problème provient principalement des erreurs d'arrondis qui s'accumulent, et ce d'autant plus que T est petit. Pour prendre en compte les intervalles ternaires dans un rythme principalement binaire, la période T doit être réduite (par exemple une croche pointée vaut 3 doubles croches donc T = double croche).
De plus les fluctuations de la pulsation sont obtenues seulement pour les "pulses" frappés. Je ne sais pas comment l'interpoler pour les autres (linéaire ? puisque la DFA-1 utilise un redressement (detrend) linéaire ?).



Les autres approches sont basées sur des représentations fréquentielles du rythme vu comme signal :

Leigh Smith propose une représentation multi-échelle du rythme, capable de rendre compte de la majeure partie des accentuations d'un point de vue perceptif. C'est une transformée en ondelettes du signal s(t) avec une ondelette analytique de Morlet. La transformée d'une somme de diracs s'exprime simplement :

Cependant sont approche est d'avantage musicale que biologique et il ne s'intéresse que brièvement à la comparaison entre rythme joué et rythme écrit.

Nous avons un peu avancé sur cette piste en traçant les transformées de nos enregistrements, mais je ne sais toujours pas comment les exploiter. Pour l'instant on arrive à extraire la phase locale à l'échelle (ou période) de la pulsation (a=T), qui semble représenter les fluctuations. Mais j'ai de gros doute sur la rigueur mathématique du procédé.

J'ai fait une image pour expliquer le principe et résumer quelques propriétés :
Puis une comparaison entre le rythme joué et le rythme quantifié : ( Attention : grandes images)

C'est bien joli, mais est-ce que c'est exploitable dans le cadre de mon problème ?

Il y a doute plus simple, enfin j'espère, puisque ce genres de choses dépassent largement mon niveau de math de prépa bio. Je souhaiterais aussi éviter que notre TIPE de biologie parte en grand délire mathématique...

Je ne cherche pas une solution détaillée, la moindre suggestion est bienvenue.
Merci d'avance.
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[invitec5eb4b89]

Bonjour,
Très intéressant comme sujet !

Je crois comprendre que votre sujet porte sur un "score" qui permet de qualifier l'apprentissage d'un rhytme par un batteur. Pourquoi ne pas comparer directement les signaux (le signal audio et le signal capté) et regarder chaque beat indépendamment des autres. Pour chaque beat, on détermine s'il a été reproduit correctement, et le score serait juste la somme des notes correctement reproduites ?

[invite8d56af0f]

Merci pour lka réponsse.

Le batteur joue avec le prof ou avec une partition, je préférerai me dispenser de rentrer la partition pour chaque enregistrement.

L'erreur relative par à la période de pulsation T est effectivement une mesure de la performance que l'on va utiliser. Pour l'instant on la définit de cette façon :

Mais notre but est aussi de corréler ce facteur de progression avec l'évolution de l'exposant de Hurst de la série des fluctuation (si évolution il y a). Ce dernier représente en quelque sorte la capacité à prendre en compte des fluctuations passées pour corriger les suivantes. Beaucoup de systèmes biologique ont une dynamique fractale qui permet de mieux contrer les perturbations extérieures à différentes échelles de temps.

On compte utiliser l'algo DFA qui est une analyse des fluctuations redressées à différentes échelles (on soustrait la tendance linéaire sur des fenêtres de différentes tailles).

Les transformées en ondelettes sont aussi utilisées pour déterminer les propriétés fractales (méthode WTMM), mais le signal décomposé est constitué des intervalles de pulsation et non pas d'une suite de diracs séparés par ces même intervales.

Pourtant je persiste encore à croire que la représentation de Leigh montre des chose intéressantes.
On peut calculer les fluctuations de la phase à différentes échelles :
Pour une échelle a donnée, la transformée peut être vue comme un signal complexe de période a modulé en phase (enfin d'après mon intuition... ):

À l'échelle de la période de pulsation (a=T), le profile de la modulation de phase ressemble à celui de l'erreur cumulée y_i - x_i (différence entre les temps aux intervalles quantifiés par T et les temps des frappes réelles).
Peut-être que l'on peut faire une analyse de la variance avec cette modulation de phase multi-échelles sur le même principe que la DFA ?
Il faudrait représenter de manière analytique les conséquence d'une autosimilarité...

En fait je cherche une méthode souple sans partie prit sur la période moyenne de la pulsation T (pour tolérer les variations de tempo). Peut-être que je crois un peu trop au miracle...

[invitec5eb4b89]

Bonjour,

C'est un peu flou : tu voudrais développer un indicateur qui permet de quantifier la rapidité d'un batteur à corriger ses erreurs ? Si oui en fonction de quels facteurs (il est question d'ANOVA à un moment) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d56af0f]

L'exposant de Hurst quantifie les dépendances à longs termes dans une série. D'abord utilisé en hydrologie, il est utilisé pour analyser des séries en biologie comme les fluctuations du rythme cardiaque, de la marche. Il permet de montrer la présence d'une dynamique fractale caractérisé par les présence de corrélations à long terme. Leur disparition, avec l'âge ou des pathologies nerveuses, entraîne une plus grande régularité, mais une moindre adaptation aux perturbations, avec risque de chute, infarctus (estimateur clinique)
Chez les animaux les plus primitifs, comme l'anguille la nage est produite par des groupes de neurones appelé Central Pattern Generator constitué d'oscilateurs couplés, qui ont été modélisés par des équations non linéaires et des attracteurs. Les robots bipèdes profitent de quelques (futures) applications.

Pour ce qui est de la perceptions et la production du rhytme chez l'homme, les structures cérebrales mises en jeux sont plus complexes, mais possèdent également des corrélations à long terme (démontré au moins pour la marche et la frappe régulière aux doigts). Certaines théorie de la production du rythme introduisent des réseaux d'oscillateurs couplés.

On essaye de se frayer un chemin dans tout ça. Pour l'instant l'hypothèse de départ est que si les corrélations à long terme disparaissent avec l'âge, elle peuvent également se renforcer avec l'apprentissage rythmique.
On voit comment procéder avec un rythme régulier (isochronique dont pas musical), mais on ne peut pas prendre du temps aux élèves qui payent chère leur demi-heure, pour leur faire battre la mesure...
Donc on utilise l'hypothèse de l'horloge interne de la pulsation qui consiste à dire qu'il existe bien un rhytme régulier qui sert de référence de phase aux autres oscillateurs.