Cayley-Dickson

[Médiat]

Bonjour,
J'ai un souci :
Soit une algèbre unitaire munie d'une involution (noté avec une barre) compatible avec l'addition et la multiplication ( et ), soit un élément n'appartenant pas à , et on considère l'ensemble
On impose les axiomes suivants :
et




Je ne vois pas comment ces axiomes permettent de calculer

J'ai trouvé cela dans un document de John Baez (qui ne chante pas mais travaille à l'université de Californie Riverside), du coup je me demande si c'est moi qui ne comprends pas quelque chose ou s'il manque un axiome ...

Tout éclairage sera le bienvenu

Merci
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[NicoEnac]

Bonjour,

Je vais peut-être dire une énormité (car cela me semble trop simple) mais :
d'après le premier axiome.
d'où

[Médiat]

Merci, mais l'algèbre n'est pas forcément associative

[NicoEnac]

d'après le premier axiome.

Ceci reste néanmoins valable non ? Je n'ai utilisé que l'élément neutre de l'algèbre et l'axiome (1).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Oui absolument

[NicoEnac]

Dans ce cas :


Or d'après (2) :

D'après (1)

D'où .

[Médiat]

Il manque des parenthèses :


Or d'après (2) :

D'après (1)

D'où

Et on est toujours coincé.

[NicoEnac]

Zut, désolé.

est l'élément neutre de la multiplication dans A mais ne peut-il être considéré comme tel dans A' ?

[NicoEnac]

Trop tard pour éditer. Ma question ne sert à rien.

Désolé de ne pas avoir pu vous aider. Je suppose que vous aviez déjà cherché dans la direction de mes propositions.

[Médiat]

Ne soyez pas désolé, mais remercié.

Je suis à peu près convaincu qu'il manque quelque chose, je vais réfléchir à ce que je pourrais ajouter de plus économique possible et j'enverrai un message à John Baez, au cas où ...

[invite986312212]

bonjour,

je ne comprends pas la définition de A'. i n'étant pas dans A on ne peut pas calculer a+ib, ou bien quelque-chose m'échappe?

[Médiat]

Bonsoir,

C'est vrai que je n'ai pas été très explicite, en fait il s'agit de l'écriture assez habituelle des éléments , par exemple si , alors