Equation de diffusion dans un barreau, flux non nul

[invite819b388f]

Bonjour,

j'ai quelque chose que je ne comprends pas dans mon cours et je viens donc demander un peu d'aide.
On a l'équation de diffusion dans un barreau 1D de 0 à x avec une condition initiale et deux conditions limites de Neumann (des flux). Le flux en 0 vaut q0 >0 et le flux en x vaut 0.
Dans le cour il est écrit que pour résoudre ça il faut décomposer les conditions limites en solution de régime avec conditions limites non-homogène et solution de transitoire avec conditions aux limites homogènes.

Comment sait-on cela? C'est toujours comme ça?

Merci
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[KerLannais]

Bonjour,

Bon premièrement il y a diverse méthode de résolution d'équations au dérivées partielles donc on est pas obligé de faire comme ça. La raison pour laquelle cette méthode marche c'est que l'équation de diffusion que tu utilises est linéaire et donc on peut appliquer le principe de superposition des solutions. Tu as dû apprendre que pour les équations différentielles ordinaires linéaires avec second membre tu pouvais chercher une solution particulière qui résout l'équation avec second membre (de même que dans ton problème tu cherches une solution particulière puisque c'est une solution de régime mais qui est a fortiori une solution de l'équation générale, qui permet de résoudre les flux) en suite on peut se contenter de résoudre l'équation homogène sans second membre et de superposer les solutions que l'on trouve avec la solution particulière précédemment trouvée (dans ton problème tu résous l'équation avec des flux homogènes). L'intérêt est le même que pour les EDO, il est difficile de trouver la solution quand les conditions aux limites ne sont pas homogènes mais par contre il n'est pas trop dur de trouver une solution si on la cherche sous une forme particluière, elle n'a aucune raison d'être la solution (puisqu'elle peut ne pas vérifier la condition initiale) mais elle permet de se ramener au cas des conditions aux limites homogènes qui est plus facile à traiter.

[invite819b388f]

Ha, oui d'accord. Mais c'est pas très intuitif comme méthode de faire avec des flux nuls.

En faite, comme démarche possible on a(pour des régimes qui ne dépendent pas du temps :

- Calcul du régime : R(x)=Ax+B et on détermine les deux constantes avec les conditions limites (CL) qu'on donne.

-Modification des CL avec : u(x,t)=R(x)+teta(x,t) (teta=transitoire)
Si on avait flux de u en (0,t) = q0 une constante, on obtient flux u(0,t)=R(0)+teta(0,t). Et tout ça tombe bien pour avoir que R(0) = u(0,t) donc teta(0,t)=0. Même chose avec les autres CL.

-Puis on sépare les variables de teta : teta(x,t)=X(x) * T(t).
On remplace dans équa de diffusion et on divise par X*T: alpha*(X''/X) = T'/T et puis classiquement.

-Au final, on additionne le transitoire et le régime.

Pour un régime qui dépent du temps par contre (flux nul d'un côté et flux non nul de l'autre côté du barreau), j'ai un problème pour déterminer toutes les constantes. On suppose que R(x,t)=Ct + R1(x). Donc dans l'équa de diffusion on a R1''= C/alpha. On intègre deux fois et on a 3 constantes pour 2 conditions limites. Apparement il faut "repporter l'indétermination d'une de ces constantes sur le transitoire". Mais qu'est ce que ca veut dire ?

Merci pour votre réponse

[KerLannais]

Pourquoi veux-tu chercher une solution de régime qui dépend du temps ? tu veux regarder des conditions aux limites qui dépendent du temps?

Par exemple mettons que l'on veuille résoudre


Avec et des fonctions de classe sur et de classe sur .

Dans ce cas le plus simple est deux trouver une fonction sur deux fois dérivable en et une fois dérivable en qui vérifie les conditions de flux aux limites mais qui ne vérifie pas forcément l'équation:


Il est facile de vérifier que a la bonne régularité et que

On pose alors


On a alors





Autrement dit tu te ramène à des conditions aux limites homogènes mais avec un terme source :


Le problème est que tu ne pourra pas utiliser la séparation de variable dans ce cas, il y a alors d'autres méthodes, en utilisant la fonction de green associée à l'équation de la chaleur par exemple, ou alors la transformée de Fourier ou ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite819b388f]

Merci pour cette réponse détaillée.
Je commence à comprendre. Mais il va falloir de la pratique .

Un tout grand merci, bonne journée