Nombres d'éléments d'un corps

[invite340b7108]

Bonjour,

Je ne comprends pas comment on fait pour trouver le nombre d'élément d'un corps. Par exemple, comment sait-on que le corps F₂[X]/(X² + X + 1) possède 4 éléments, et que le corps F₂[X]/(X³ + X + 1) en possède 8 ?

Merci d'avance !
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[invite986312212]

c'est parce que ce sont des espaces vectoriels de dimension 2 et 3 sur F2.

[Seirios]

Bonjour,

Pour cela, il faut comprendre ce que sont ces corps : Si tu prends un polynôme P quelconque de , tu peux considérer le reste R de la division euclidienne de P par X²+X+1 ; donc dans , P=R. Ainsi, les éléments de sont les restes possibles des polynômes de dans la division euclidienne par X²+X+1, c'est-à-dire les polynômes de de degré strictement inférieur à 2 ; il y a en bien 4.

[invite340b7108]

D'accord, donc si je comprends bien, les 8 éléments de F₂[X]/(X³ + X + 1) sont les polynomes :

0
1
X
X²
1 + X
1 + X²
X + X²
1 + X + X²

?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

C'est bien ça (en fait, pour être plus précis, il faudrait dire que les huit éléments sont les classes d'équivalence de ces polynômes (en tant que polynômes de ), mais on le fait rarement, on le garde simplement à l'esprit).