Continuité simple!

[invitee5651092]

Bonjour,
Esce qu'une suite croissante sur R*+ est-elle forcement continue sur cet intervalle? Admet-elle une limite? a gauche? et a droite? pour x>0.
Merci pour vos réponses
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[Seirios]

Bonjour,

Je suppose qu'il faut lire fonction à la place de suite.

Une fonction croissante n'est pas nécessairement continue : il suffit de considérer la partie entière. Par contre, elle admet une limite à gauche et à droite en tout point, ce qui en fait d'ailleurs une fonction réglée ; on peut ainsi montrer que l'ensemble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable.

Pour la convergence en l'infini, tout ce que l'on peut dire, c'est que soit il y a divergence vers l'infini, soit il y a convergence (ce qui est déjà pas mal).

[invitee5651092]

Merci! j'y réfléchie

[invitee5651092]

Mais comment prouver qu'elle admet une limite a gauche et a droite? si x n'est pas une borne de Df et de plus n'appartient pas a Df, alors ce ne serait plus le cas?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Mais comment prouver qu'elle admet une limite a gauche et a droite?

On peut considérer l'ensemble ; si on ne prend pas y comme une borne à gauche de l'ensemble de définition de f, est une partie de non vide et majorée (par f(y) par exemple), donc elle admet une borne supérieure, et on montre ensuite facilement que c'est la limite à droite en y de f (via la caractérisation de la borne supérieure).

si x n'est pas une borne de Df et de plus n'appartient pas a Df, alors ce ne serait plus le cas?

Comment voudrais-tu étudier la limite en un point qui n'est pas dans l'adhérence de l'ensemble de définition ?