Résolution d'une équation différentiel

[invitee8152693]

Bonjour à tous !
Je suis en classe de première S. Pour mon travail de TPE, j'essaye de résoudre un problème de physique. J'ai besoin de votre aide pour résoudre l'équation différentielle suivante :



g, m et k sont des constantes.

Merci d'avance
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[invite9617f995]

Bonjour,

Est-ce que par tu entends la dérivée de v par rapport à t, auquel cas je te conseille la notation .

Si oui : alors que vient faire dt (delta t dans ton cas) en dehors d'une dérivée dans l'expression "-2kv²/(m+kv*dt)" ? Je ne vois pas comment une variation infiniment petite de t interviendrait dans l'expression d'une fonction de t. Est-tu sûr de ton équation ?

Si ton expression n'est pas celle de la dérivée de v par rapport à t, alors ton équation n'est pas différentielle et on va avoir besoin de savoir ce que tu veux exactement.

Silk

[invitee8152693]

Oui, tu dois avoir raison. En fait, l'équation est :



puisque tend vers 0. Si ça peut simplifier les calculs, on n'est pas obligé de mettre une constante g.
Ah, je vois que cette équation a l'air beaucoup plus simple maintenant.

[invite9617f995]

Hmm, c'est quand même bizarre qu'à la fin d'un raisonnement physique tu te retrouve avec un dt, qu'il soit négligeable ou pas ; ton équation ressemble fortement au PFD pour un objet qui subit son poids et une force de frottement en -kv² et si c'est le cas, je ne sais pas trop d'où viendrais un terme en kv*dt, enfin bref.

Pour ce qui est de la résolution de ton équation, les solutions seront assez différentes selon si tu laisses le g ou pas.

Si tu considère juste une équation du type : avec a positif alors ta solution est de la forme avec b une constante arbitraire.
Prouver qu'une telle fonction est solution de l'équation ne devrait pas être trop compliqué, je te laisse essayer

Si tu rajoutes une constante, alors les équations sont un peu plus compliquées : les résultats se présentent assez facilement avec des tangentes hyperboliques, ils peuvent s'écrire entièrement avec des exponentielles mais les formules seront quand même plus lourdes.

Silk

PS: si quelqu'un lit mon message d'avant, qu'il oublie le t à "est"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee8152693]

ton équation ressemble fortement au PFD pour un objet qui subit son poids et une force de frottement en -kv²

En plein dans le mille ! En fait, , où est la surface de l'objet considéré en contacte avec le fluide et la masse volumique du fluide. J'ai mis la constante k pour que l'équation ne soit pas trop "lourde".
Si on ne met pas la constante g, alors ça signifie que les forces de frottement sont les seuls forces appliquées au système. Si on le met, c'est que l'on prend en compte le poids.

Je veux bien que tu me donne une fonction dans le cas où l'on prend en compte la constante g, comme ça tu m'expliqueras ce qu'est une fonction tangente hyperbolique

[invite9617f995]

Je te passe tous les détails de trigonométrie hyperbolique, d'où ca vient, les propriétés et tout ça et je passe directement à la partie qui nous intéresse :
La fonction tangente hyperbolique (notée th) est définie sur R par :
.
On prouve pas trop difficilement que th est dérivable sur R et que th'(x)=1-th²(x) (ça je ne te le prouve pas, je te laisse le faire si tu en as besoin, c'est des calculs un peu lourds mais avec un peu de rigueur, on s'en sort très bien).

Maintenant on cherche v vérifiant l'équation (E) : v'(t)=g-av²(t).

Définissons d'abord une nouvelle fonction f par .

En utilisant (E), il faut trouver l'équation différentielle (E') qui régit f. Vu que c'est un TPE, je te laisse faire le calcul, c'est quand même mieux si on ne te mâche pas tout le travail et ça apprend à manipuler des équas diffs. Dis-moi si t'y arrives pas.

Ensuite, en utilisant th, il faut résoudre (E'), je te laisse y réfléchir.


Bonne chance,
Silk