La trace d'un produit de matrice est-elle cyclique ?

[herman]

Bonjour,

Je sais que Tr(AB) = Tr(BA) avec A,B deux matrices carrées de même ordre.

Je n'arrive toutefois pas à savoir si c'est généralisable à un produit de matrice comportant un nombre quelconque de matrice ?

Exemple : Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA) ?
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[inviteaf1870ed]

Il me semble bien :
tr[(AB)C]=tr[C(AB)]=tr[A(BC)]=tr[(BC)A]

[invite986312212]

au fait, trace(AB)=trace(BA) est vrai aussi pour des matrices rectangulaires, pour peu que l'on puisse calculer ces produits.

[invite4ef352d8]

en revanche Tr(ABC) peut-etre différent de Tr(BAC)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite899aa2b3]

en revanche Tr(ABC) peut-etre différent de Tr(BAC)

En effet, par exemple à l'ordre 2 avec ; et .
On a donc
donc alors que .
Ça doit pouvoir se généraliser à des dimension supérieures en prenant ces matrices dans le coin en haut à gauche et des ailleurs.

En fait, je crois que les seules permutations de l'ensemble telles que pour toutes matrices de on ait sont justement les puissances de la permutation qui pour associe et à .

[invite4ef352d8]

Je confirme le résultat que soupçonne girdav... il me semble même l'avoir déjà prouvé sur ce forum (si mes souvenir sont bon on s'en sors en utilisant un un produit de matrices E_{i,i+1} qui va devenir nul si on en change l'ordre...)