La compacité locale implique-t-elle la complétude ?

[Seirios]

Bonjour à tous,

La question est dans le titre : la compacité locale d'un espace métrique (ou éventuellement d'un espace vectoriel normé si cela change quelque chose) implique-t-elle la complétude ?

Intuitivement, j'aurais tendance à dire que c'est vrai, parce qu'à partir d'un certain rang, une suite de Cauchy devrait être se trouver dans un voisinage compact, et donc converger, mais à écrire cela ne me semble pas évident. D'ailleurs, comme je n'ai trouvé cette propriété nulle part, il est bien possible qu'elle soit fausse, mais je n'ai pas trouvé de contre-exemple.

Pouvez-vous m'éclairer sur la validité de cette propriété ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invited73f5536]

Bonjour.

]0,1[ muni de la distance usuelle est localement compact sans être complet.

[invite4ef352d8]

Non ce n'est pas le cas pour les espaces métriques généraux... le problème étant que "localement compact" ne signifie pas "les fermé borné sont complets" (on donne peut-etre un nom a cette deuxième propriété... dans le cas des evt on parle d'espace de montel, j'ignore si on dit aussi cela pour les espaces métriques... ).


le contre exemple le plus simple serait de prendre un ouvert stricte de R munie de la distance de R... il est localement compact mais pas complet.

en revanche il est vrai que tout espace localement compact à base dénombrable d'ouvert peut-etre munie d'une distance en faisant un espace métrique complet (ayant la même topologie... )

[Seirios]

Finalement, le résultat est vrai pour les espaces vectoriels normés sur un corps valué : les translations et les homothéties sont des homéomorphismes, donc l'espace est localement compact ssi la boule fermée unitaire est compact, et on montre facilement qu'une suite de Cauchy, à partir d'un certain rang, est inclus dans une boule unitaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

]0,1[ muni de la distance usuelle est localement compact sans être complet.

Effectivement, plutôt simple comme contre-exemple...

Merci