limite d'un produit: (1+a)(1+a^2)...(1+a^n)

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'aider?, Je cherche à calculer la limite quand n tend vers l'infini de (1+a)(1+a^2)...(1+a^n) où 0<a<1.

J'ai essayé de passé par le logarithme:

ln[(1+a)(1+a^2)...(1+a^n)]=ln(1+a)+....+ln(1+a^n)

finalement cela revient à étudier la nature de la série de terme général ln(1+a^n), série équivalente à a^n en l'infini puisque a^n tend vers 0 (par hypothèse 0<a<1).

Donc, si je prend l'exponentielle d'une série convergente, je retombe sur mon produit et donc (1+a)(1+a^2)...(1+a^n) converge vers une limite de la forme e^L où L=lim série de terme général (1+a^n)

Est-ce que c'est juste?,
Comment aurez vous fait pour étudier la limite de ce produit?

Merci d'avoir pris la peine de lire ma question.
-----

[ichigo01]

________________________

[acx01b]

salut, si 0 < a < 1 alors

0 < ln(1 + a) < a
et donc 0 < ln(1 + a^n) < a^n

tu te retrouves avec une série à terme positifs majorée terme à terme par une série convergente

c'est encore plus drôle en autorisant -1 < a < 0