nombres premiers dans Z[i]

[inviteb8f38dc5]

Bonjour, je bloque sur cette question :


Soit p> 2 un nombre premier.
Vérifier que si p est somme de deux carrés alors p = 1 [4] : En déduire que si p est réductible alors p = 1 [4]
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[Amanuensis]

Les carrés modulo 4 sont 0 et 1 seulement, les sommes possibles sont donc 0, 1 ou 2...

Pour la deuxième question, si a+ib divise p entier réel, alors a-ib aussi...

[inviteb8f38dc5]

Je ne comprend pas . Si on suppose que p est la somme de 2 carrés donc qu'il existe a et b tels que p = a² + b² qu'est ce qui implique que l'on doit raisonner modulo 4 et donc que p = 1 (modulo 4) ?

[Amanuensis]

qu'est ce qui implique que l'on doit raisonner modulo 4 ?

La question, non ?

Si on demande la valeur modulo 4, faut bien raisonner modulo 4, non?

[Quel est le cadre scolaire de l'exercice ? C'est un peu discordant de poser la question du message #3 dans le cadre d'un exercice sur les entiers de Gauss !?! ]

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb8f38dc5]

Le cadre de l'exercice est de caracteriser la reductibilité (et l'irreductibilité) des nombres premiers dans l'anneau des entiers de gauss Z[i].
On demande de montrer ( p = a² +b² ) => p = 1 [4]
Si je pars de p = a² +b² qu'est ce qui justifie que je dois raisonner modulo 4 , parce que bon en realité comme p est impair il est evident que p = 1 [4] ou p = 3 [4] dans ce cas ...
Est ce que c'est le fait qu'il soit la somme de 2 carres qui nous fait raisonner modulo 4 ou pourrions raisonner modulo nimporte quoi d'autre ?

[Amanuensis]

Si je pars de p = a² +b² qu'est ce qui justifie que je dois raisonner modulo 4 , vu que je ne sais pas encore que mon hypothese implique p = 1 mod 4 ?

p mod 4 = ((a² mod 4) + (b² mod 4)) mod 4

[invite57a1e779]

On demande de montrer ( p = a² +b² ) => p = 1 [4]
Si je pars de p = a² +b² qu'est ce qui justifie que je dois raisonner modulo 4 , vu que je ne sais pas encore que mon hypothese implique p = 1 mod 4 ?

Mais bien sûr que si, tu le sais puisque la réponse est contenue dans la question.

Si l'on te demandait de caractériser les entiers qui sont somme de deux carrés, il serait certainement moins naturel d'étudier des congruences modulo 4.

Mais les mathématiques sont comme la cuisine : on ne trouve dans le plat que les seuls ingrédients que l'on a introduit en cours de préparation. Tu veux un résultat modulo 4 ? Alors tu raisonnes modulo 4 sans te poser de questions.

[inviteb8f38dc5]

Ok merci les jeunes !