Bonjour, je sais que j'ai déjà vu une démonstration élémentaire du fait que le polynôme caractéristique de AB et de BA sont les mêmes sur un corps quelconques, mais malheureusement, je n'arrive pas à la retrouver. Est ce que quelqu'un la connaitrais ou aurait une référence ?
(Je me souviens juste qu'on écrivais des matrices blocs de tailles 2n il me semble pour exprimer det(AB-X Id)), et que ces deux matrices commutaient, donc c'était gagner).
Je vous remercie.
Bonne journée.
Bonjour,
on peut commencer par supposer que A est inversible : dans ce cas
...
Il est facile de généraliser ensuite au cas où A n'est pas inversible.
Bonne journée,
Mystérieux1
On écrit, avecEnvoyé par GogetaSS5
et on obtient l'égalité des déterminants :
God's Breath --> Oui c'est ca, je n'arrive jamais à retrouver ces matrices. La démonstration est tellement simple avec.
Mysterieux1 --> Cette démonstration est simple, mais ne s'étend que facilement sur R et C dans le cas ou A ou B est non inversible.
Je vous remercie.
Bonjour,
Il fallait utiliser la densité des matrices inversibles dans l'ensemble des matrices. Mais il faut avouer que l'astuce de God's Breath est tout de même meilleure.
Bonne journée
Quelle est cette notion de "densité" lorsque l'on travaille dans le corps F49430863 ?
Je crois me souvenir que l'on pouvait démontrer le théorème de Cayley Hamilton par une méthode similaire ?On écrit, avec
et on obtient l'égalité des déterminants :
Bonsoir,
Je suis un bébé en mathématiques, mais il me semble qu'on peut montrer que l'ensemble des matrices inversibles est "dense" dans l'ensemble des matrices, je veux dire par la (et c'est peut etre un abus de langage) que l'on peut approcher une matrice inversible par une suite de matrices non inversibles (par exemple en considérant la suite (A-1/p In)p pour n assez grand qui tend effectivement vers A... et pour p assez grand A-1/pI
Peut-être n'a-t-on pas le droit de dire ca...
Bonne soirée,
Mystérieux1
PS: je ne connais pas la notion de corps F49430863...
Le problème, c'est que pour parler de densité, il faut définir une distance et lorsque le corps est quelconque, il n'y a pas de notion de distance canoniquement associée ; pour les réels et les complexes, on considère les structures d'espace vectoriel normé sur un corps valué (non discret).Je suis un bébé en mathématiques, mais il me semble qu'on peut montrer que l'ensemble des matrices inversibles est "dense" dans l'ensemble des matrices, je veux dire par la (et c'est peut etre un abus de langage) que l'on peut approcher une matrice inversible par une suite de matrices non inversibles (par exemple en considérant la suite (A-1/p In)p pour n assez grand qui tend effectivement vers A... et pour p assez grand A-1/pI est non inversible...
Peut-être n'a-t-on pas le droit de dire ca...
If your method does not solve the problem, change the problem.
Une astuce pour retrouver ces matrices ? Personnellement, je suis incapable de m'en souvenir...On écrit, avec
et on obtient l'égalité des déterminants :
Alors j'utilise une autre démonstration (un peu plus longue) : On montre d'abord que
Puis dans le cas général : en notant
Cette démonstration me semble également valable dans un corps quelconque (ce qui ne dépend que du résultat "A est semblable à
If your method does not solve the problem, change the problem.
Finalement, j'ai trouvé un résultat très proche à partir de l'idée d'utiliser que
On arrive alors naturellement aux produits :
On retrouve donc l'égalité
If your method does not solve the problem, change the problem.
