Re : DLn

inviteaa34f496 · 19/02/2011, 20h10

Bonsoir à tous
J'ai quelques petits soucis quant à un exercice !

On donne f une fonction C3 sur R et impaire.
J'ai écrit son DL3.
Mais ensuite il faut justifier l'existence de k appartenant a ]0,1[ pour que f(x)=xf ' (x*k)
J'ai pensé utiliser le théorème des accroissements finis...
Mais il n'y aura pas de x dans le f ' ... Et on ne peut pas appliquer Rolle avec une fonction auxiliaire car f(0)=f(1) n'est pas forcèment vérifié

Plus loin, on pose h(x)=exp(x) * tan(x)
On prend la restriction sur ]-Pi/2,Pi/2[. J'ai justifié que c'était une bijection, trace h et g (g est la réciproque). Et on doit justifier que g possède un DLn en 0...
Je ne vois vraiment pas comment faire... Sachant que h n'est pas infiniment dérivable sur R, on ne peut donc pas s'en servir ...

Et on doit montrer que le DL3 de g en 0 est de la forme
g(x)=x+ax²+b*x^3 + o(x^3)
J'ai dit que la constante était nulle car f(0)=0 et g est symétrique à f par rapport à la droite y=x. Mais pourquoi le coefficient devant x vaut 1?

Se servir du DL3 de f pour trouver a et b
Là aussi... Aucune idée de comment faire. J'ai essayé d'expliciter la réciproque mais cela ne me parait pas du tout évident

J'espère que l'énoncé est compréhensible...
Merci d'avance de votre aide

invitea3eb043e · 19/02/2011, 20h56

Qu'est-ce qui t'empêche d'écrire le théorème des accroissements finis pour f entre 0 et x ?

**Tiky** · 19/02/2011, 21h21

$\text{[math]}$ . h est $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .
On a $\text{[math]}$ .
Tu as un théorème que tu as dû voir en cours qui affirme alors que $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ . Le théorème de Taylor-Young affirme que tu peux effectuer un développement limité de $\text{[math]}$ à n'importe quel ordre. Ce qui important ici, c'est que la dérivée de $\text{[math]}$ ne s'annule pas.

Tu sais de plus que $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$ . Tu peux calculer les termes successifs de ce DL.

inviteaa34f496 · 20/02/2011, 11h58

Si on applique le théorème des accroissements finis on aura f '(k) et pas f ' (k * x) ...
Non?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteaa34f496 · 20/02/2011, 12h00

Ah ouiiiii !!! Merci Tiky !
Je n'aurais jamais pensé à utiliser la formule de la dérivée d'une fonction réciproque...

**Tiky** · 20/02/2011, 12h27

Envoyé par tripeuz

Si on applique le théorème des accroissements finis on aura f '(k) et pas f ' (k * x) ...
Non?

En fait ton énoncé est mal formulé. Je n'avais pas compris ta question.
L'énoncé correct est le suivante :
Montrer que pour tout réel $\text{[math]}$ , il existe un $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
Ton réel $\text{[math]}$ dépend de $\text{[math]}$ !

Tu applique le théorème des accroissements finis sur $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ en fonction du signe de $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ est évidemment non-nul et je le suppose strictement positif. Tu sais qu'il existe un réel $\text{[math]}$ tel que :
$\text{[math]}$
Et bien tu choisis $\text{[math]}$

inviteaa34f496 · 20/02/2011, 13h14

Ah je ne voyais pas du tout le probleme comme ca ...
Et comme c'est une fonction impaire f(-x)=-f(x) donc f(0)=-f(0) ainsi f(0)=0 c'est ça?
Merci beaucoup de votre aide, c'est très gentil

**Tiky** · 20/02/2011, 13h20

Envoyé par tripeuz

Ah je ne voyais pas du tout le probleme comme ca ...
Et comme c'est une fonction impaire f(-x)=-f(x) donc f(0)=-f(0) ainsi f(0)=0 c'est ça?
Merci beaucoup de votre aide, c'est très gentil

Oui exactement.

inviteaa34f496 · 20/02/2011, 13h59

Je ne vois finalement pas trop comment procéder pour le DL de la réciproque
J'arrive à :
x g'(x) [ (1/ tan(g(x))) + 1 + tan (g(x)) ] = 1 ...
Je voulais remplacer les x par 0 pour trouver un DL en 0 mais... on aura 0=1 ..

inviteaa34f496 · 20/02/2011, 14h01

Et pour le DL3 de h en 0 je trouve :
h(x) = x + x² + 5/6 x^3 + o(x^3)

invitea3eb043e · 20/02/2011, 14h09

Envoyé par tripeuz

Si on applique le théorème des accroissements finis on aura f '(k) et pas f ' (k * x) ...
Non?

Non, ou alors, c'est qu'on a changé le théorème récemment ! J'ai bien dit : entre 0 et x, hein ? Pas entre 0 et 1 !

inviteaa34f496 · 20/02/2011, 14h13

Et en utilisant le DL3 de h je trouve
1 = x + [g(x)] ² + 5/3 [g(x)]^3 + o [(g(x))^3] ....

**Tiky** · 20/02/2011, 14h22

Envoyé par tripeuz

Et pour le DL3 de h en 0 je trouve :
h(x) = x + x² + 5/6 x^3 + o(x^3)

Ton développement limité de h est juste.
Tu sais que $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$ . On utilise ici le fait que $\text{[math]}$ et l'unicité des coefficients d'un développement limité.

On a $\text{[math]}$ et donc
$\text{[math]}$ .
Puis $\text{[math]}$
Alors $\text{[math]}$

**Tiky** · 20/02/2011, 14h33

Une petite erreur dans mon calcul :
$\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$
Heureusement que $\text{[math]}$ . Le résultat final est inchangé.

inviteaa34f496 · 20/02/2011, 14h42

Vraiment : merci beaucoup .

Je vais aller refaire tous ces calculs pour avoir les idées plus claires.
Merci encore de votre aide et de votre temps.
Bon weekend

**Tiky** · 20/02/2011, 14h45

En fait j'ai fait une erreur grossière dans mes calculs. Désolé. Je reprends :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et enfin $\text{[math]}$
Je pense que c'est bon maintenant. Mais tu fais bien de revérifier

.

DLn

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