Produit de n sous groupes

[invited6262d2a]

Bonjour, bonjour,

J'ai un petit problème pour généraliser un question.
Voilà l'énoncé du problème.
Soit G un groupe et H et K deux sous groupes de G.

1- Démontrer que HK est un sous groupe de G SSI HK=KH
Donc j'ai réussi à le montrer (en espérant que ce soit juste ^^")

2-Généraliser au cas d'un produit de n sous groupes Hi.
Et voilà là je cale, je ne sais pas trop comment m'y prendre...
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[Seirios]

Bonsoir,

En faisant un raisonnement par récurrence, la première question pourra te permettre de dire que si est un sous-groupe de G, alors est un sous-groupe de G ssi .

Qu'est-ce que tu en déduis ?

[invited6262d2a]

Est-ce que cela équivaut à dire que le produit de n sous groupes Ai est un sous groupe SSI A1*...*An=An*A(n-1)*...*A1?
Parce que c'est ce que j'en déduis de la récurrence mais c'est peut être faux?

[Seirios]

Mais c'est vrai pour tout n, donc on peut simplement dire que les commutent deux à deux pour le produit cartésien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited6262d2a]

Merci beaucoup pour ta réponse!