fonctionnelle sympa

[MMu]

Trouver toutes les fonctions (réels) telles que

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[Seirios]

Bonjour,

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Je dirais que et .

[MMu]

Bonjour,

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Je dirais que et .

Peut être oui, peut être non

[Seirios]

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Pour y=0, on obtient f(g(x))=(1+f(0))f(x)-f(0), donc insérant cette expression dans l'équation initiale et en posant y=x : f(x)²-x²=f(0)². On montre ensuite que nécessairement f(0)=0, donc |f(x)|=|x|, puis il ne reste plus qu'à faire une distinction des différents cas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MMu]

pas convaincu ..

[ericcc]

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Pour y=0, on obtient f(g(x))=(1+f(0))f(x)-f(0), donc insérant cette expression dans l'équation initiale et en posant y=x : f(x)²-x²=f(0)². On montre ensuite que nécessairement f(0)=0, donc |f(x)|=|x|, puis il ne reste plus qu'à faire une distinction des différents cas.

Comment montres tu que f(0)=0 ?

[Garf]

Dans l'ordre :

* On prend . On obtient .

* En particulier, pour y = x = g(0), on obtient et donc .

* De là, il découle que , et en particulier que .

* On prend maintenant . On obtient . En particulier, .

Pas fait la distinction de cas qui s'ensuit naturellement. Je suppose que, si l'on n'a pas d'hypothèse supplémentaire ( et continues, par exemple), il peut se passer des choses assez méchantes.

[God's Breath]

Il me semble pouvoir confirmer le résultat de Phys2.

La méthode n'est pas très directe, et je pense que MMu va nous proposer une solution élégante et rapide.

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Pour : ; en particulier: .

On a donc : .

Si est paire, la relation fonctionnelle fournit, pour tout :



soit :



Par addition : donc serait constante, ce qui est impossible.

Donc il existe tel que , et la relation fonctionnelle fournit :



soit :



et par addition : , d'où : et, pour tout : .

La relation fonctionnelle fournit alors, pour tout :



donc est impaire.

En reprenant les cas : et , désormais valides pour tout :



et est impaire.

Mézalor, pour tout couple :



et par addition: .

On sait que, pour tout , ou , et on en déduit que le choix est indépendant de car ne peut pas être la fonction nulle.

On a donc:
– ou bien et alors : ;
– ou bien et alors : .

[Garf]

Bon, je me suis effectivement planté de façon grossière. pour me racheter, je propose une simplification de la preuve de God's Breath.

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Remarque préliminaire : de façon évidente, ne peut pas être constante.

On calcule tout d'abord : *. En particulier, est impaire.

De plus, on a *. On a donc l'alternative suivante :
* ;
* est paire (ce qui est équivalent à " est paire").

Si ne vaut pas , alors est constante. C'est impossible. Donc , et est impaire. De même, la partie paire de étant nulle, la fonction est impaire, donc .

Le reste de la preuve est similaire aux dernières lignes du messages de God's Breath.


* il suffit de regarder les couples et .