[TS+]Eq fonctionnelle/mq f=id

[invitefc60305c]

Bonsoir.
Je bute sur un exo et je sollicite votre aide.. Merci !

Soit f: N->N tel que qque soit n entier naturel f(n+1)>f(f(n))
Mq f = id.

J'ai pensé à la récurrence.
J'ai essayé l'absurde, en vain.
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[invite425270e0]

c'est quoi i et d?

[danyvio]

c'est quoi i et d?

Je pense qu'il s'agit de f(x)= x , mais anonymous devrait confirmer

[invite35452583]

Bonsoir.
Je bute sur un exo et je sollicite votre aide.. Merci !

Soit f: N->N tel que qque soit n entier naturel f(n+1)>f(f(n))
Mq f = id.

J'ai pensé à la récurrence.
J'ai essayé l'absurde, en vain.

Elle est résolu par deux méthodes différentes là aux posts #6 et #7. (Elle doit exister à d'autres endroits, c'est quasiment une classique)
Si tu préfères seulement un indice : montrer par un biais ou un autre que f est strictement croissante, essaie de montrer que f(0)=0 déjà pour voir un peu comment "marche" cette fonctionnelle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

c'est quoi i et d?

id est l'abréviation d'identité, la fonction identité étant celle définie par danyvio .

[invitefc60305c]

Merci beaucoup.

Supposons f décroissante (donc n =< n+1 implique f(n) >= f(n+1))
Soit n tel que f(n) < n
alors f(f(n) >= f(n)
f(n+1) > f(n) absurde car on a supposé que f décroissante.
Donc f strictement croissante.

Puis supposons f(0) différent de 0
Alors f(0) >= 1
donc f(f(0)) >= f(1)
Impossible par hypothèse puisque f(n+1) > f(f(n)) donc en supposant n = 0 on a f(1) > f(f(0)).
D'où f(0) = 0

[invite35452583]

Merci beaucoup.

Supposons f décroissante (donc n =< n+1 implique f(n) >= f(n+1))
Soit n tel que f(n) < n
alors f(f(n) >= f(n)
f(n+1) > f(n) absurde car on a supposé que f décroissante.
Donc f strictement croissante.

Ceci repose sur un présupposé faux : une fonction serait croissante ou décroissante.
f (0)=0 f(1)=2 f(2)=1 f(3)=4 f(4)=3...f(2n)=2n-1 f(2n+1)=2n est-elle croissante ou décroissante ?
Ta preuve de f(0)=0 repose donc elle aussi sur ce présupposé faux.

Montre d'abord que f(0) est minimum (en montrant que cela ne peut pas être un autre f(n) par exemple). Tu peux alors prolonger dans la voie en montrant que f(1) est le deuxième plus petit...
Autre voie possible : commencer à montrer que f(n)>=n pour tout n.