[TS+]Eq fonctionnelle/mq f=id
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[TS+]Eq fonctionnelle/mq f=id



  1. #1
    invitefc60305c

    [TS+]Eq fonctionnelle/mq f=id


    ------

    Bonsoir.
    Je bute sur un exo et je sollicite votre aide.. Merci !

    Soit f: N->N tel que qque soit n entier naturel f(n+1)>f(f(n))
    Mq f = id.

    J'ai pensé à la récurrence.
    J'ai essayé l'absurde, en vain.

    -----

  2. #2
    invite425270e0

    Re : [TS+]Eq fonctionnelle/mq f=id

    c'est quoi i et d?

  3. #3
    danyvio

    Re : [TS+]Eq fonctionnelle/mq f=id

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    c'est quoi i et d?
    Je pense qu'il s'agit de f(x)= x , mais anonymous devrait confirmer
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  4. #4
    invite35452583

    Re : [TS+]Eq fonctionnelle/mq f=id

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    Bonsoir.
    Je bute sur un exo et je sollicite votre aide.. Merci !

    Soit f: N->N tel que qque soit n entier naturel f(n+1)>f(f(n))
    Mq f = id.

    J'ai pensé à la récurrence.
    J'ai essayé l'absurde, en vain.
    Elle est résolu par deux méthodes différentes aux posts #6 et #7. (Elle doit exister à d'autres endroits, c'est quasiment une classique)
    Si tu préfères seulement un indice : montrer par un biais ou un autre que f est strictement croissante, essaie de montrer que f(0)=0 déjà pour voir un peu comment "marche" cette fonctionnelle.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitec053041c

    Re : [TS+]Eq fonctionnelle/mq f=id

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    c'est quoi i et d?
    id est l'abréviation d'identité, la fonction identité étant celle définie par danyvio .

  7. #6
    invitefc60305c

    Re : [TS+]Eq fonctionnelle/mq f=id

    Merci beaucoup.

    Supposons f décroissante (donc n =< n+1 implique f(n) >= f(n+1))
    Soit n tel que f(n) < n
    alors f(f(n) >= f(n)
    f(n+1) > f(n) absurde car on a supposé que f décroissante.
    Donc f strictement croissante.

    Puis supposons f(0) différent de 0
    Alors f(0) >= 1
    donc f(f(0)) >= f(1)
    Impossible par hypothèse puisque f(n+1) > f(f(n)) donc en supposant n = 0 on a f(1) > f(f(0)).
    D'où f(0) = 0

  8. #7
    invite35452583

    Re : [TS+]Eq fonctionnelle/mq f=id

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    Merci beaucoup.

    Supposons f décroissante (donc n =< n+1 implique f(n) >= f(n+1))
    Soit n tel que f(n) < n
    alors f(f(n) >= f(n)
    f(n+1) > f(n) absurde car on a supposé que f décroissante.
    Donc f strictement croissante.
    Ceci repose sur un présupposé faux : une fonction serait croissante ou décroissante.
    f (0)=0 f(1)=2 f(2)=1 f(3)=4 f(4)=3...f(2n)=2n-1 f(2n+1)=2n est-elle croissante ou décroissante ?
    Ta preuve de f(0)=0 repose donc elle aussi sur ce présupposé faux.

    Montre d'abord que f(0) est minimum (en montrant que cela ne peut pas être un autre f(n) par exemple). Tu peux alors prolonger dans la voie en montrant que f(1) est le deuxième plus petit...
    Autre voie possible : commencer à montrer que f(n)>=n pour tout n.

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