Prouver qu'une fonction à deux variables est de classe C2

[invitec5e8a8f5]

Salut tout le monde,
bien voilà,je voulais savoir si pour le théorème de schwartz,il y'a équivalence,je veux dire si on montre que (d²f)/dxdy=(d²f)/dydx
on peut déduire que f est de classe C2?
ou bien je dois montrer que la fonction est dérivable deux fois et sa dérivée seconde est continue?
la fonction est:
u(s,t)=exp(s(X+tY) avec X et Y de Mn(R)
merci d'avance
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[invitec5e8a8f5]

Salut,
on m'a suggéré d'utiliser les fonctions affines,mais on ne les a pas encore étudiées.Le prof nous a dit de le faire par dérivées partielles et voilà ce que j'ai trouvéd²u)/ds²=(X+tY)²exp(s(X+tY) et pour d²u/dt²=Y²exp(s(X+tY),corrigez moi si j'ai faux s'il vous plaît,je suis faible en calcul différentiel

[invitec5e8a8f5]

je pense que j'ai faux car les matrices X et Y ne commutent pas
s'il vous plaît aidez moi!!!