Equation différentielle

[inviteae9aebfa]

besoin d'aide dans la resolution d'n exo de physique:
C'est un exercice de pendule simple d'equation differenrtielle:
x''+Wx= 0
w=k/m
k:raideur
m:la masse
je ne sais comment ils ont trovés la solution:
x(t)= A cos (wt + FI )

en fait je veut une demonstration!!




merci d'avance[/SIZE]
-----

[inviteaf1870ed]

Par exemple, écrire x"=-Wx, multiplier par x' des deux cotés :
x'x"=-Wxx'
On peut intégrer
x'²=K-Wx², qui se résoud en séparant les variables :
x'=racine(K-Wx²)
dx/racine(K-wx²)=dt etc...

Ou alors savoir que les équations différentielles à coefficients constants ont des solutions de la forme exp(rt) où r peut être complexe.

Ici r est solution de l'équation r²+W=0, et si W est positif, on retrouve des solutions sinusoïdales.

[inviteae9aebfa]

Dans notre cours de mathematique, le professeur nous a dit que
pour unr equation differentiel lineaire homogene( C'est notre cas) la
solution si delta<0 dans l'equation caractéristique:
r1=c+id
r2=c-id
==> x(t)=[A cos(dt)+Bsin(dt)] exp(ct)
avec exp:exponentielle

ce qui est different de la solution x(t)= A cos(wt + FI )
pouvez vous s'il vous plait me montrer comment ces 2 solutions solutions peuvent être égales

merci d'avance à tous (en particulier ericcc)

[inviteaf1870ed]

Ici r1 et r2 sont les solutions de r²=-W, où W est >0, donc r1 et r2 sont imaginaires purs, et c=0. Donc, avec tes notations, r1=id, et r2=-id.
Ensuite il est facile de transformer une équation de la forme acos(wx)+bsin(wx) en Acos(wx+f) :
acos(wx)+bsin(wx)=rac(a²+b²)[a/rac(a²+b²) cos(wx)+b/rac(a²+b²) sin(wx)]
On pose A=rac(a²+b²)
et f tel que cos(f)=a/rac(a²+b²) et sin(f) = -b/rac(a²+b²) (Monter que c'est toujours possible)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteae9aebfa]

merci beaucoup beeaucoup c'est vraiment ce que je voulais