Morphisme et application linéaire

[invited2440feb]

Bonjour à tous,
Voilà je voudrais un contre exemple de l'implication suivante (fausse) :
f est une application linéaire de E dans F => f est un morphisme de groupe.
Après mes recherches (et l'aide de mon prof), je n'ai pas trouvé, bien que l'application
f : R -> {0,1}
x -> { 1 si x appartient a Q
0 si x n'appartient pas a Q}
l'est presque (on ne peut pas savoir lorsque x rationnel, y non rationnel) ...
Merci beaucoup.
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[invitec7c23c92]

Bonsoir,

- L'implication est vraie : une application linéaire est en particulier un morphisme de groupe (pour les lois additives de chaque espace vectoriel).

- Cette application f n'est pas linéaire.

[invited2440feb]

L'implication inverse en fait ! Désolé ..

[invitec7c23c92]

Ah !

Alors l'idée est bonne, mais ce n'est pas 1 qu'il faut associer à x si x est dans Q.

C'est par exemple x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited2440feb]

Ah oui pas mal du tout ! Il fallait donc juste bricoler un peu cette fonction caractéristique Merci bien !