Matrice - Ker(u) Img(u)

[invite340b7108]

Bonjour,

Dans mes corrigés d'exercices, la prof utilise une methode que je ne connaissais pas pour déterminer ker(u) et img(u) à partir de la matrice, et je ne comprends pas comment ça marche. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer ?

Par exemple, avec B = (e_1, e_2, e_3, e_4), et A la matrice de l'endomorphisme u de R^4, elle note la matrice A et la matrice identité et elle fait les operations sur les colonnes, et vers la fin elle déduit que les 2 dernieres colonnes de l'ancienne matrice identité forment une base de ker(u), et les 2 premieres de A une base de Img(u). Je ne sais pas si vous voyez ce que je veux dire. J'espère ^^
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[sylvainc2]

Quand on fait un pivot de Gauss sur les colonnes d'une matrice, on établit des combinaisons linéaires de ces colonnes. Donc celles qui sont non nulles à la fin sont libres, et les nulles sont liées. Donc par définition de Im(A), les colonnes non nulles forment une base de Im(A).

Pour ker(A) c'est moins évident, mais voici une façon de comprendre. Les opérations permises dans le pivot de Gauss sont toutes linéaires, donc elles peuvent être écrites sous forme de matrice. Toutes ces matrices peuvent être multipliées pour donner une seule matrice G qui représente toutes ces opérations combinées en une seule. Aussi quand on fait des opérations sur les colonnes de A c'est qu'on multiplie A par G à droite de A. Si A est augmentée de l'identité à droite, que je vais écrire comme ceci: [ A | I ] alors le pivot de Gauss sur les colonnes de A et I peut s'écrire comme ceci: [ A | I ] G = [ AG | IG ] = [ AG | G ]. L'ancienne matrice I dans le bloc de droite est devenue cette matrice G. Donc les colonnes de G qui correspondent aux colonnes nulles de AG sont bien les combinaisons linéaires des colonnes de A qui résultent en des vecteurs colonne nuls (dans AG). Et ca c'est la définition de ker(A), ie: AG = 0.

Bon je ne sais pas si j'ai été clair, mais moi je me comprends, et c'est çà l'important, hein

[invite340b7108]

Je te comprends aussi Merci, c'est plus clair comme ça !!