Intégrale

[invitebe08d051]

Salut,

J'ai montré grâce aux séries de Fourier que: avec

On me demande de déduire:

Là j'avoue que je bloque.

Si vous avez des idées, je suis preneur.

Merci
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[inviteaf1870ed]

Somme de Riemann ?

[invitec317278e]

....................

[invitebe08d051]

Somme de Riemann ?

Je les avais complétement oublié.

C'est direct. Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

C'est direct, si tu connais les sommes de riemann dans le cas d'une intégrale généralisée. (pas au programme, je crois)

[invitebf26947a]

Moi c'est encore dans mon programme.

[invitebe08d051]

C'est direct, si tu connais les sommes de riemann dans le cas d'une intégrale généralisée. (pas au programme, je crois)

C'est vrai que le programme des classes préparatoires se limite à la convergence des sommes de Riemann sur un segment.

En fait, la généralisation m'a semblé naturelle, du coup je me demande quel est l'énoncé exact ? Wikipedia ne semble pas mentionné cela dans l'article portant sur les sommes de Riemann.

Cela dit, vue que c'est hors programme, j'ai trouvé une autre méthode, certes un peu longue mais qui donne le résultat. Si ça intéresse quelqu'un, je peux donner les grandes lignes. (La flemme de tout écrire )

[invitebf26947a]

C'est vrai que le programme des classes préparatoires se limite à la convergence des sommes de Riemann sur un segment.

En fait, la généralisation m'a semblé naturelle, du coup je me demande quel est l'énoncé exact ? Wikipedia ne semble pas mentionné cela dans l'article portant sur les sommes de Riemann.

Cela dit, vue que c'est hors programme, j'ai trouvé une autre méthode, certes un peu longue mais qui donne le résultat. Si ça intéresse quelqu'un, je peux donner les grandes lignes. (La flemme de tout écrire )

Je doute que ce soit un hors programme, moi je suis étudiant en électronique(mais j'aime beaucoup les maths) et c'est dans mon programme.

[invitec317278e]

C'est vrai que le programme des classes préparatoires se limite à la convergence des sommes de Riemann sur un segment.

et il y a une raison à cela : le cas général est plus complexe, et il n'y a pas forcément convergence quand ce n'est pas sur un segment.
moi je ne connais pas de théorème précis.Je crois que ça marche dans certains bons cas du genre fonction monotone...

Je doute que ce soit un hors programme, moi je suis étudiant en électronique(mais j'aime beaucoup les maths) et c'est dans mon programme.

peux tu énonce précisément le théorème que tu connais à ce sujet ?

[invitec317278e]

Après petite réflexion : ici les sommes de riemann se généralisent sans problème dans la mesure où la fonction est uniformément continue. On peut donc facilement refaire la démo du cas habituel.

[invitebe08d051]

Après petite réflexion : ici les sommes de riemann se généralisent sans problème dans la mesure où la fonction est uniformément continue. On peut donc facilement refaire la démo du cas habituel.

Le problème qui me gêne, c'est qu'on a pas le droit de parler du pas de la subdivision puisque rien ne garantit son existence.

[invitec317278e]

Bon, j'ai dit des betises, ça marche pas aussi simplement que ça. Peut être faut-il découper des epsilon en 2 pour arriver au but.
Mais le pas de la subdivision n'est pas ce qui me pose problème...

[invite57a1e779]

C'est un peu fin par les sommes de Riemann.

Je note : , , .

Pour tout , il existe tel que pour . Je choisis .

L'intégrale sur le compact est limite des sommes de Riemann ; la somme pour le pas est :



et il existe un entier tel que pour .

Alors , donc :

(majoration classique en comparant la série à l'intégrale).

Pour , on a donc : et , d'où :

.

En regroupant tout :


Je choisis , et j'obtiens : .

L'inégalité étant établie pour tout , il en résulte que .

[invitebe08d051]

Mais le pas de la subdivision n'est pas ce qui me pose problème...

Et comment définies-tu le pas de la subdivision ?

En revanche, je trouve pratique la réponse de God's Breath, on peut aisément se ramener aux sommes de Riemann sur un segment en utilisant les .

[invitea07f6506]

On peut aussi passer par le théorème de convergence dominée, si tu connais. C'est fondamentalement la même chose que ce qu'a fait God's Breath, mais ça permet de se passer des epsilon et compagnie, et donc de raccourcir pas mal la preuve (en plus de la rendre plus élégante). Ceci dit, la méthode de God's Breath (couper l'espace en deux - ici, [0,a] et le reste -, travailler sur chacune des parties avec des méthodes différentes puis faire varier le découpage pour optimiser) est très, très utile.

[inviteaf1870ed]

Merci à God's Breath d'avoir développé mon idée : je me suis en effet rendu compte après avoir rapidement dit Sommes de Riemann, que l'application n'étais pas si directe que cela. La méthode de découpe des intégrales permet en effet de conclure.

Peut être que Garf peut détailler sa méthode avec la convergence dominée (au programme ?)

[invitea07f6506]

Comme je le disais, c'est essentiellement la même chose que la preuve de God's Breath.

Je pose ; la suite est sommable.

Premièrement, on remarque que, pour tout entier ,



On reconnaît des sommes de Riemann :



De plus, pour tout , on a :



Donc, par convergence dominée :



Edit : erreur, je corrige de suite.

[invitea07f6506]

Correction de l'erreur.

Les deux premières égalités sont fausses. On a en fait :

[invitebe08d051]

Merci à God's Breath d'avoir développé mon idée : je me suis en effet rendu compte après avoir rapidement dit Sommes de Riemann, que l'application n'étais pas si directe que cela. La méthode de découpe des intégrales permet en effet de conclure.

Quand vous avez parler de sommes de Riemann, j'ai cru que vous faisiez allusion aux sommes de Riemann dans le cas des intégrales généralisées, qui me semblent assez appropriées ici, bien que hors programme.

Cela dit, la preuve de Garf est tout aussi élegante.

[inviteaf1870ed]

Je crois que le problème vient précisément de la difficulté de définir les sommes de Riemann pour les intégrales généralisées. C'est la raison pour laquelle GB's et Garf ont proposé leur démo, qui asseoient les Sommes de Riemann sur une base solide.