Suites

[inviteab428802]

Bonjour,

Soit f(x)=xln(1+x)-1+x.

Cette fonction est telle que sur [1,+∞[, elle est bijective (croissante) à valeurs dans [ln2,+∞[.

Il existe donc une une fonction g réciproque de celle-ci sur les intervalles précédents.

On demande de prouver que quelque soit n>=1, f(x)=n admet une unique solution sur [1,+∞[ notée xn et déterminer la monotonie de la suite (xn).

Ceci ne me pose aucun problème mais ensuite il est demandé de montrer que pour tout n>=8, xn<=n.

Alors là ca coince. En effet, bien que l'on ne puisse pas déterminer une forme analytique simple de g , on peut toutefois simuler le comportement de f par un tableau Excel par exemple. Et là, je ne trouve pas que c'est n>=8 mais plutot n>=6.

Par équation, mon raisonnement est le suivant: dire que xn<=n revient à écrire g(n)<=n et comme je ne connais pas g , c'est de dire que par symétrie avec la 1ere bissectrice, celà revient à chercher f(n)>=n. Ca ne résout pas la demande mais c'est un début. Suis-je sur la voie et comment expliquer l'écart entre la valeur 8 demandée et le 6 déterminé par Excel ?.

Enfin, dans la suite , il est demandé de montrer que pour tout n>=8,
xn=(n-1)/(ln(1+n)-1).

Merci de vos indications.
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[invitea3eb043e]

A quelle équation satisfait xn par définition ?
Ensuite, combien vaut xn - n ? Signe de cette expression ?

[inviteab428802]

Bonjour,

Merci de t'interesser à la question.

xn satisfait à l'equation f(xn)=n avec f telle que définie dans mon post. quant à xn-n c'est bien sur g(n)-n.

[inviteaf1870ed]

Tu dois tirer Xn-n de l'équation qui définit Xn, et en déduire son signe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Bonjour,

Merci de t'interesser à la question.

xn satisfait à l'equation f(xn)=n avec f telle que définie dans mon post. quant à xn-n c'est bien sur g(n)-n.

Ben écris-les donc.

[inviteab428802]

Ca c'est une réponse argumentée et qui fait progresser en tout cas moi.

Dois-je comprendre que c'est si facile ? Si je pose la question, c'est que bien sur que j'ai déjà fait tout celà. Et même que ca ne marche pas ou en tout cas que je n'y arrive pas.

D'ailleurs, pour s'en rendre compte , il suffit d'essayer ensuite d'utiliser la formule xn=(n-1)/(ln(1+n)-1) pour voir que si on prend p.e n=8 on n'aura pas f(x8)=8.

Donc ma question serait plutot: comment prouver la valeur de n telle que xn<=n ( valeur de n qui selon moi n'est pas 8 mais sans doute 6) et aussi n'y aurait-t'il pas une erreur dans l'énoncé ?

Si tu veux bien me répondre ca m'interesse.

[inviteaf1870ed]

la formule xn=(n-1)/(ln(1+n)-1)

Cette formule me semble fausse, à mon avis c'est d'une inégalité qu'il s'agit, et qui est de ce fait très facile à obtenir.