probabilité

[invitec2174952]

bonjour à vous.

je bloque sur un exercice de proba. Pourriez vous m'indiquer comment débuter ?

l'exercice est le suivant.

Soit X1,... Xn n variables aléatoires réelles indépendantes de même densité f continue et d'espérance finie.

Déterminer la loi de X1 sachant max(X1,...,Xn) .


>> j'ai déjà essayé avec une fonction de répartition. Le problème, c'est que l'on remarque que la loi de X1 sachant le max est une loi conditionnelle sans densité ... Donc c'est une impasse et je ne vois pas par où repartir.

Merci par avance
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[invite392a8924]

bonjour à vous.

je bloque sur un exercice de proba. Pourriez vous m'indiquer comment débuter ?

l'exercice est le suivant.

Soit X1,... Xn n variables aléatoires réelles indépendantes de même densité f continue et d'espérance finie.

Déterminer la loi de X1 sachant max(X1,...,Xn) .


>> j'ai déjà essayé avec une fonction de répartition. Le problème, c'est que l'on remarque que la loi de X1 sachant le max est une loi conditionnelle sans densité ... Donc c'est une impasse et je ne vois pas par où repartir.

Merci par avance

salut;

premièrement tu doit déterminer la loi du max de la série variationnelle (x1,x2,...xn), et ceci je pense il est facile pour toi.

puis en démarrant du fait qu'on sait que f(X/Y=y)=f(x,y)/f(Y=y).

bien sur
en tenant compte que f(Y=y) différente de 0 dans le domaine considéré .

ceci est le chemin.

[invitec2174952]

bonjour et merci pour ta réponse rapide.

j'ai déjà essayé ce que tu as dit.

il reste à calculer la loi du couple ( X,Y).
Pour cela j'utilise une sorte de fonction de répartition.

Calculons :

A(s,t) = P( X1 > s, Y < t ) où Y = max (x1, ..., xn ) .

A(s,t) = P( s<X1<t, X2<t, ..., Xn < t )
les variables étant indépendantes, on peut séparer.

A(s,t)= P(s<X1<t)P(X2<t)...P(Xn<t) et les Xi ayant la même loi, on a facilement A en fonction des fonctions caractéristiques.

ensuite, à priori, en dérivant par rapport à s, puis par rapport à t, on obtient notre densité et donc notre loi.

J'ai fait cela, mais à priori, c'est faux car ceci est vrai tant que on a une loi à densité. Et ici, il n'y aurait pas de densité pour la loi X1 sachant le max
( je n'arrive pas encore à l'expliquer, mais je cherche) ....

D'où mon problème. Si je ne peux pas faire comme ça, comment puis-je faire?

[invite392a8924]

bonjour et merci pour ta réponse rapide.

j'ai déjà essayé ce que tu as dit.

il reste à calculer la loi du couple ( X,Y).
Pour cela j'utilise une sorte de fonction de répartition.

Calculons :

A(s,t) = P( X1 > s, Y < t ) où Y = max (x1, ..., xn ) .

A(s,t) = P( s<X1<t, X2<t, ..., Xn < t )
les variables étant indépendantes, on peut séparer.

A(s,t)= P(s<X1<t)P(X2<t)...P(Xn<t) et les Xi ayant la même loi, on a facilement A en fonction des fonctions caractéristiques.

ensuite, à priori, en dérivant par rapport à s, puis par rapport à t, on obtient notre densité et donc notre loi.

J'ai fait cela, mais à priori, c'est faux car ceci est vrai tant que on a une loi à densité. Et ici, il n'y aurait pas de densité pour la loi X1 sachant le max
( je n'arrive pas encore à l'expliquer, mais je cherche) ....

D'où mon problème. Si je ne peux pas faire comme ça, comment puis-je faire?

salut


fait intention ce que tu as appeler fonctions caractéristiques , ce tte dérnière est définie à l'aide d'une espérance .!!!!http://forums.futura-sciences.com/im...cons/icon4.gif

maintenant la formule est

f(X1/Y=y)=f(X1=x,Y=y)/f(Y=y).

avec Y=max(X1,...Xn)

maintenant, pour trouver f(x,y) utilise la fonction caractéristique , .

bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec2174952]

je sais bien, c'est exactement ce que je viens de faire, sauf que j'ai utilisé une fonction alternative ( c'est pas exactement la fonction caractéristique mais ça y ressemble ).

Si vous voulez, je sais calculer f(x,y). Le problème est de savoir si la loi de X1 sachant le max possède une densité ou non.
Et à priori, non. ( je n'arrive pas à comprendre pourquoi ... )

Et j'ai donc besoin qu'on m'éclaire la dessus....

merci qd même

[invite392a8924]

je sais bien, c'est exactement ce que je viens de faire, sauf que j'ai utilisé une fonction alternative ( c'est pas exactement la fonction caractéristique mais ça y ressemble ).

Si vous voulez, je sais calculer f(x,y). Le problème est de savoir si la loi de X1 sachant le max possède une densité ou non.
Et à priori, non. ( je n'arrive pas à comprendre pourquoi ... )

Et j'ai donc besoin qu'on m'éclaire la dessus....

merci qd même

je te cache pas je te remercie pour ton problème , ça me permettre de revoire quelques notions



tient il y a un autre chemin pour voire est ce que X1 a une loi ou pas.



on doit calculer l'estimateur bayésien puis on calcule la loi conditionnelle de cet estimateur par apport à X1,

et Y.

[invitea07f6506]

je pense que ça s'explique si on voit les choses sous un autre angle. Je vais poser :



Je vais poser de plus, pour tout réel , une variable aléatoire dont la loi est la loi de conditionnée par .

Clairement, on a . De plus, et sont indépendantes. On s'est ramené au cas de deux variables aléatoires indépendantes, c'est déjà pas si mal. Je pose l'évènement .

Maintenant, je fixe un réel . Supposons que . Alors, ou bien on a (sur l'évènement ), ou bien on a (sur son complémentaire). La loi de sachant le premier évènement est un Dirac en ; sa loi suivant le second évènement est, elle, celle de .

Au final, la distribution de est :


Bon, tout ceci étant valable pour de bonnes valeurs de (parce que conditionner par des évènements de probabilité nulle - ce que je fais depuis le début de mon message - c'est mal, même si ça permet de s'en sortir rapidement).

[invitec2174952]

merci bcp.